Яку суму третього і п ятого членів має геометрична прогресія, якщо ця сума дорівнює 180, а також яку суму мають перший

Щоб знайти геометричну прогресію, спочатку треба з"ясувати відношення між її членами. Позначимо перший член прогресії як \(a\) і відношення як \(r\).

За визначенням геометричної прогресії, другий член буде \(ar\), третій член - \(ar^2\), четвертий член - \(ar^3\) і так далі.

Задача вказує, що сума третього і п"ятого членів прогресії дорівнює 180. Отже, ми можемо записати таке рівняння:

\[ar^2 + ar^4 = 180\]

Також вказано, що сума першого і третього членів прогресії дорівнює 20. Тому ми можемо записати ще одне рівняння:

\[a + ar^2 = 20\]

Тепер ми маємо систему з двох рівнянь:

\[
\begin{cases}
ar^2 + ar^4 = 180 \\
a + ar^2 = 20 \\
\end{cases}
\]

Давайте використаємо метод виключення для вирішення цієї системи. Для початку, помножимо друге рівняння на \(r^2\), щоб позбутися \(a\) відносно \(ar^2\):

\[
a + ar^2 = 20 \quad \Rightarrow \quad ar^2 + ar^4 = 20r^2
\]

Тепер віднімемо це рівняння від першого:

\[
(ar^2 + ar^4) - (ar^2 + ar^4) = 180 - 20r^2 \quad \Rightarrow \quad 0 = 180 - 20r^2
\]

Спростимо це рівняння:

\[180 - 20r^2 = 0\]

Поділимо обидві частини на 20:

\[9 - r^2 = 0\]

Тепер давайте розв"яжемо це рівняння для \(r\):

\[r^2 = 9\]

\[r = \pm \sqrt{9}\]

Отже, \(r\) може бути або 3, або -3.

Тепер ми можемо підставити ці значення \(r\) в друге рівняння, щоб знайти відповідне значення \(a\).

Якщо \(r = 3\), то

\[a + a \cdot 3^2 = 20\]

\[a + 9a = 20\]

\[10a = 20\]

\[a = 2\]

Отже, якщо \(r = 3\) і \(a = 2\), геометрична прогресія буде мати члени: 2, 6, 18, 54, ...

Якщо \(r = -3\), то

\[a + a \cdot (-3)^2 = 20\]

\[a + 9a = 20\]

\[10a = 20\]

\[a = 2\]

Отже, якщо \(r = -3\) і \(a = 2\), геометрична прогресія буде мати члени: 2, -6, 18, -54, ...

Таким чином, дана геометрична прогресія може мати члени 2, 6, 18, 54, ... або 2, -6, 18, -54, ...