Какие выводы можно сделать о функции f (x) xtgx/x+3sinx с подробным объяснением: а) функция является четной; б) функция

Для того чтобы определить, является ли функция \(f(x) = \frac{xtgx}{x+3sinx}\) четной, нечетной, ни четной, ни нечетной, или периодической, нам необходимо проанализировать ее свойства.

а) Чтобы функция была четной, необходимо, чтобы выполнялось равенство \(f(x) = f(-x)\) для любого \(x\) в области определения функции.

Подставим \(-x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(-x) = \frac{-xtgx}{-x+3sin(-x)}\]

Для определения четности функции, мы также можем упростить эту формулу используя основные тригонометрические тождества, такие как \(tg(-x) = -tgx\) и \(sin(-x) = -sinx\):

\[f(-x) = \frac{xtgx}{x-3sinx}\]

Теперь сравним \(f(x)\) и \(f(-x)\):
\[f(x) = \frac{xtgx}{x+3sinx}\]
\[f(-x) = \frac{xtgx}{x-3sinx}\]

Мы видим, что \(f(x) \neq f(-x)\) для любого \(x\) в области определения функции, так как знак в числителе отличается в двух выражениях. Следовательно, функция не является четной.

б) Чтобы функция была нечетной, необходимо, чтобы выполнялось равенство \(f(x) = -f(-x)\) для любого \(x\) в области определения функции.

Сравним \(f(x)\) и \(-f(-x)\):
\[f(x) = \frac{xtgx}{x+3sinx}\]
\[-f(-x) = -\left(\frac{-xtgx}{-x+3sin(-x)}\right)\]

Снова используем основные тригонометрические тождества:
\[-f(-x) = \frac{xtgx}{x-3sinx}\]

Мы видим, что \(f(x) \neq -f(-x)\) для любого \(x\) в области определения функции. Значит, функция также не является нечетной.

в) Таким образом, выводим, что функция \(f(x) = \frac{xtgx}{x+3sinx}\) не является ни четной, ни нечетной.

г) Чтобы определить, является ли функция периодической или нет, необходимо проверить, существуют ли значения \(a\) и \(T\), такие что \(f(x + T) = f(x)\) для любого \(x\) в области определения функции и любого числа \(T\).

Однако, для данной функции нет периодических решений, поскольку в числителе и знаменателе содержатся нелинейные и не периодические функции.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что функция \(f(x) = \frac{xtgx}{x+3sinx}\) не является четной, нечетной и периодической.