Які значення x відповідають проміжкам, де функція y=1/4x^4-1/2x^2+5 спадає? Запишіть позитивні значення x, які належать

Для того чтобы найти значения \(x\), при которых функция \(y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\) убывает, нужно найти интервалы, где производная функции \(y\) является отрицательной.

1) Сначала найдем производную функции \(y\) по \(x\):
\[y"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\right)\]

2) Теперь найдем значения \(x\), при которых производная \(y"(x)\) отрицательна:
\[y"(x) < 0\]

3) Затем найдем значения \(x\), при которых \(y\) убывает:
\[y(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5 < 0\]

Давайте посчитаем производную \(y"(x)\) и найдем интервалы, где она отрицательна.

1) Найдем производную \(y"(x)\):
\[y"(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\right)\]
При нахождении производной каждого слагаемого используем правило дифференцирования:

- Производная слагаемого \(\frac{1}{4}x^4\) равна \(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{4}x^4\right) = x^3\).
- Производная слагаемого \(-\frac{1}{2}x^2\) равна \(-\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x^2\right) = -x\).
- Производная слагаемого 5 равна \(\frac{d}{dx}(5) = 0\).

Суммируем производные слагаемых:
\[y"(x) = x^3 - x\]

2) Теперь найдем значения \(x\), при которых \(y"(x) < 0\). Для этого решим неравенство:
\[x^3 - x < 0\]

Чтобы решить это неравенство, найдем множества значений \(x\), при которых левая сторона неравенства равна нулю:
\[x^3 - x = 0\]
\[x(x^2 - 1) = 0\]

Решим это уравнение:
1) \(x = 0\) — корень.
2) \(x^2 - 1 = 0\) — \(x = -1\) и \(x = 1\) (корни уравнения).

Теперь построим таблицу знаков, чтобы понять, в каких интервалах неравенство \(x^3 - x < 0\) выполнено:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -1 & 0 & 1 & +\infty \\
\hline
x^3 - x & - & + & - & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Итак, неравенство \(x^3 - x < 0\) выполняется на интервалах \((-1, 0)\).

3) Теперь найдем значения \(x\), при которых \(y(x) < 0\). Для этого подставим значения интервала \((-1, 0)\) в функцию \(y\) и сделаем следующие вычисления:
\[y(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\]
\[y(-1) = \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{1}{2}(-1)^2 + 5 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 5 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{20}{4} = \frac{19}{4} > 0\]
\[y(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - \frac{1}{2}(0)^2 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5 > 0\]

Итак, все значения \(x\) в интервале \((-1, 0)\) приводят к положительным значениям функции \(y\), а не к отрицательным значениям.

Таким образом, нет позитивных значения \(x\), которые принадлежат интервалам, где функция \(y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + 5\) убывает. Все значения \(x\) приводят к возрастанию функции \(y\).

Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте мне знать!