Сколько участников могло принять участие в однокруговом шахматном турнире, если известно, что было набрано более

Для решения данной задачи нам необходимо использовать неравенство, учитывая условие, что было набрано более 50, но менее 60 очков.

Пусть \( x \) - количество участников на турнире. Так как каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, то общее количество партий будет равно сумме чисел от 1 до \( x-1 \).

Сумма чисел от 1 до \( x-1 \) находится по формуле суммы арифметической прогрессии, где \( n \) - количество элементов последовательности, а \( a \) и \( d \) - начальный элемент и шаг последовательности соответственно:
\[ S = \frac{n}{2}(a + l) \]

Так как каждый из участников набирает по 1 очку за каждую выигранную партию, то сумма очков всех участников равна сумме чисел от 1 до \( x-1 \):
\[ S = \frac{x-1}{2}(1 + x-1) = \frac{x-1}{2} \cdot x \]

Теперь решим неравенство:
\[ 50 < S < 60 \]

\[ 50 < \frac{x-1}{2} \cdot x < 60 \]

Умножим неравенство на 2:
\[ 100 < (x-1) \cdot x < 120 \]

Раскроем скобки:
\[ 100 < x^2 - x < 120 \]

Приведем подобные слагаемые:
\[ x^2 - x - 100 > 0 \]
\[ x^2 - x - 120 < 0 \]

Теперь решим квадратные неравенства:

1. Решим неравенство \( x^2 - x - 100 > 0 \)
Сначала найдем корни уравнения \( x^2 - x - 100 = 0 \). Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) \]
\[ D = 1 + 400 \]
\[ D = 401 \]

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два вещественных корня:
\[ x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{401}}{2} \approx 14.89 \]
\[ x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{401}}{2} \approx -13.89 \]

Теперь рассмотрим неравенство \( x^2 - x - 100 > 0 \). Будем проверять значения относительно найденных корней. Выделяем интервалы методом знаков:
-13.89 |---------------------------| 14.89

Проверяем значения:
-13.89: \( (-13.89)^2 - (-13.89) - 100 = 28.99 \) (знак > 0, интервал не подходит)
14.89: \( (14.89)^2 - (14.89) - 100 = 29.16 \) (знак > 0, интервал подходит)

Итак, решением первого неравенства является интервал \( x > 14.89 \).

2. Решим неравенство \( x^2 - x - 120 < 0 \)
Точно так же найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 120 = 0 \) и используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) \]
\[ D = 1 + 480 \]
\[ D = 481 \]

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два вещественных корня:
\[ x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{481}}{2} \approx 13.51 \]
\[ x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{481}}{2} \approx -14.51 \]

Рассмотрим неравенство \( x^2 - x - 120 < 0 \). Используем метод знаков и проверяем значения:
-14.51 |---------------------------| 13.51

Проверяем значения:
-14.51: \( (-14.51)^2 - (-14.51) - 120 = -1.51 \) (знак < 0, интервал подходит)
13.51: \( (13.51)^2 - (13.51) - 120 = -1.49 \) (знак < 0, интервал не подходит)

Итак, решением второго неравенства является интервал \( -14.51 < x < 13.51 \).

Итого, возможное количество участников турнира будет лежать в интервале \( 14.89 < x < 13.51 \).

Ответ: количество участников может быть дробным числом и находиться в интервале от 14.89 до 13.51.