Какой угол образуют две плоскости, проходящие через точку m(1; -1; -1), причем одна из них содержит ось ох, а другая

содержит ось оу?

Для решения этой задачи сначала рассмотрим направляющие векторы плоскостей, а затем найдем косинус угла между этими векторами.

Плоскость, содержащая ось ох, будет иметь нормальный вектор \(\vec{N_1} = (1, 0, 0)\), так как она параллельна плоскости xy.

Плоскость, содержащая ось оу, будет иметь нормальный вектор \(\vec{N_2} = (0, 1, 0)\), так как она параллельна плоскости xz.

Теперь найдем направляющий вектор прямой, проходящей через точку \(m\) и перпендикулярной плоскостям. Для этого вычислим вектор, соединяющий точку \(m\) с началом координат (0, 0, 0), а затем нормализуем его, чтобы получить единичный вектор. Получим направляющий вектор \(\vec{v} = \left(\frac{{1 - 0}}{{\sqrt{{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}}}, \frac{{-1 - 0}}{{\sqrt{{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}}}, \frac{{-1 - 0}}{{\sqrt{{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}}}\right) = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\).

Теперь применим формулу для косинуса угла между векторами:
\[\cos{\theta} = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| \cdot |\vec{N_2}|}\]
где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение, а \(|\vec{N_1}|\) и \(|\vec{N_2}|\) - длины векторов \(\vec{N_1}\) и \(\vec{N_2}\) соответственно.

Вычислим значения:
\[
\begin{aligned}
\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} &= (1, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) = 0 \\
|\vec{N_1}| &= \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \\
|\vec{N_2}| &= \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1
\end{aligned}
\]

Подставим значения в формулу:
\[\cos{\theta} = \frac{0}{1 \cdot 1} = 0\]

Теперь найдем значение самого угла \(\theta\). Для этого применим обратную функцию косинуса:
\[\theta = \arccos{0} = \frac{\pi}{2}\]

Таким образом, угол между плоскостями, проходящими через точку \(m\) и содержащими ось ох и ось оу, равен \(\frac{\pi}{2}\) или 90 градусов.