Які значення похідної можна обчислити в точці y=2tg4x, де x0=п/4?

Щоб знайти значення похідної \(y = 2\tan{4x}\) в точці \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), ми можемо застосувати правило ланцюгового диференціювання. Давайте спочатку знайдемо похідну виразу \(\tan{4x}\).

Перший крок: Знайдіть похідну функції \(\tan{4x}\).
Для цього ми можемо скористатися правилами диференціювання тригонометричних функцій. Правило каже, що похідна \(\tan{x}\) дорівнює \(\sec^2{x}\), тобто квадрату секанса \(x\). Ми будемо застосовувати це правило кілька разів, використовуючи властивості ланцюгового правила диференціювання.

\[
\begin{align*}
\frac{d}{dx}\tan{4x} &= \frac{d}{dx}\tan{(u)} \\
&= \sec^2{(u)}\cdot\frac{d}{dx}{(u)} \quad \text{(де } u = 4x \text{)} \\
&= \sec^2{(4x)}\cdot\frac{d}{dx}{(4x)} \\
&= \sec^2{(4x)}\cdot4 \\
&= 4\sec^2{(4x)}
\end{align*}
\]

Отже, ми отримали, що похідна виразу \(\tan{4x}\) рівна \(4\sec^2{(4x)}\).

Другий крок: Знайдіть значення похідної в точці \(x_0 = \frac{\pi}{4}\).
Тепер, коли ми знаємо похідну виразу \(\tan{4x}\), ми можемо обчислити значення похідної в точці \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), підставивши \(x_0\) в похідну. Отже,

\[
\begin{align*}
\left.\frac{d}{dx}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}(2\tan{4x}) &= 2\cdot\left.\frac{d}{dx}\right|_{x=\frac{\pi}{4}}(\tan{4x}) \\
&= 2\cdot 4\sec^2{(4x_0)} \quad \text{(підставляємо значення } x_0 \text{)} \\
&= 8\sec^2{(\frac{\pi}{4})} \\
&= 8\sec^2{(\frac{\pi}{4})} \quad \text{(квадрат секансу } \frac{\pi}{4} \text{ дорівнює 2)} \\
&= 16
\end{align*}
\]

Отже, значення похідної в точці \(y = 2\tan{4x}\), де \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), дорівнює 16.