Якіє значення площі фігури, яка знаходиться між двома лініями: одна лінія має рівняння y=4x-х^2, а інша - y=4-x?

Для решения данной задачи нам необходимо найти точки пересечения двух данных линий и вычислить площадь фигуры, заключенной между ними.

Для начала найдем точки пересечения двух линий. Для этого приравняем уравнения линий друг к другу:

\[4x - x^2 = 4 - x\]

Приведя подобные слагаемые и приводя уравнение к квадратному виду получим:

\[x^2 + 5x - 4 = 0\]

Можно решить это уравнение, используя формулу дискриминанта. Вычислим его:

\[D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41\]

Так как дискриминант больше нуля, то у уравнения два корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \approx -3.28\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2} \approx 0.28\]

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого из найденных x:

\[y_1 = 4x_1 - {x_1}^2 = 4 \cdot (-3.28) - {(-3.28)}^2 \approx -15.12\]

\[y_2 = 4x_2 - {x_2}^2 = 4 \cdot 0.28 - {(0.28)}^2 \approx 1.48\]

Таким образом, точки пересечения двух линий имеют координаты (-3.28, -15.12) и (0.28, 1.48).

Далее, чтобы вычислить площадь фигуры между этими линиями, она будет представлять собой интеграл от функции y1(x) до y2(x) в пределах от x1 до x2.

\[S = \int_{x_1}^{x_2} (y_2(x) - y_1(x)) \,dx\]

Для нахождения этого интеграла, нам понадобится антипроизводная от разности функций y2(x) и y1(x):

\[y_2(x) - y_1(x) = (4 - x) - (4x - x^2) = x^2 - 5x + 4\]

Теперь вычислим интеграл:

\[S = \int_{x_1}^{x_2} (x^2 - 5x + 4) \,dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 4x\right]_{x_1}^{x_2}\]

\[S = \left(\frac{1}{3}x_2^3 - \frac{5}{2}x_2^2 + 4x_2\right) - \left(\frac{1}{3}x_1^3 - \frac{5}{2}x_1^2 + 4x_1\right)\]

Подставим значения найденных координат:

\[S = \left(\frac{1}{3} \cdot 0.28^3 - \frac{5}{2} \cdot 0.28^2 + 4 \cdot 0.28\right) - \left(\frac{1}{3} \cdot (-3.28)^3 - \frac{5}{2} \cdot (-3.28)^2 + 4 \cdot (-3.28)\right)\]

После всех вычислений мы получим площадь фигуры, заключенной между данными линиями. Ответ округляем до необходимой точности.