Какова скорость и ускорение в момент времени t, если закон движения точки по прямой задается формулой s(t)=3t2+t

Очень рад помочь вам с этой задачей! Давайте начнем с расчета скорости и ускорения в момент времени t, используя данную формулу движения точки:

\[s(t) = 3t^2 + t\]

Для нахождения скорости в момент времени t мы должны взять производную функции \(s(t)\) по времени t. Производная показывает скорость изменения функции. Давайте найдем производную:

\[\frac{{ds(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(3t^2 + t)\]

Дифференцируем каждый член выражения по отдельности, используя правила дифференцирования:

\[\frac{{ds(t)}}{{dt}} = 6t + 1\]

Теперь у нас есть выражение для скорости в момент времени t:

\[v(t) = 6t + 1\]

Чтобы найти ускорение, мы должны взять вторую производную функции \(s(t)\) по времени t. Давайте продифференцируем предыдущее выражение для скорости \(v(t)\):

\[\frac{{dv(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(6t + 1)\]

Вторая производная дает нам ускорение:

\[a(t) = \frac{{d^2s(t)}}{{dt^2}} = 6\]

Теперь, когда мы нашли выражения для скорости и ускорения, давайте рассмотрим их значения в момент времени t = 1,9 секунды.

Для нахождения скорости в момент времени t = 1,9 секунды, подставим t = 1,9 в выражение для скорости:

\[v(1,9) = 6 \cdot 1,9 + 1 = 11,4 + 1 = 12,4 \, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость в момент времени t = 1,9 секунды равна 12,4 м/с.

Для нахождения ускорения в момент времени t = 1,9 секунды, мы видим, что ускорение является постоянной величиной и равно 6, как мы получили ранее.

Теперь докажем, что у заданной функции \(s(t)\) ускорение в момент времени t является постоянной величиной, используя определение производной.

Определение производной гласит:

\[\text{Ускорение} = a(t) = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \lim_{{\Delta t \to 0}} \frac{{v(t + \Delta t) - v(t)}}{{\Delta t}}\]

Заметим, что мы можем использовать производную скорости \(v(t)\), которую мы уже нашли:

\[a(t) = \frac{{dv(t)}}{{dt}} = \frac{{d}}{{dt}}(6t + 1) = 6\]

Таким образом, ускорение в момент времени t действительно является постоянной величиной и равно 6.

Это полностью решает задачу, демонстрирует вычисление скорости и ускорения в момент времени t, и доказывает, что ускорение является постоянным при использовании определения производной. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!