Яка площа бічної поверхні конуса, що утворюється обертанням прямокутного трикутника навколо катета, протилежного

Щоб розрахувати площу бічної поверхні конуса, утвореного обертанням прямокутного трикутника навколо катета, протилежного заданому куту, спочатку знайдемо довжину генератриси конуса. Генератриса - це пряма лінія, яка з"єднує верхівку конуса з будь-якою точкою на його бічній поверхні.

Довжина генератриси \( l \) може бути обчислена за допомогою теореми Піфагора для прямокутного трикутника, що утворюється генератрисею, катетом та гіпотенузою:

\[ l = \sqrt{c^2 - a^2} \]

Де \( c \) - гіпотенуза (довжина гіпотенузи трикутника), \( a \) - катет трикутника, протилежний заданому куту \( \alpha \).

Зараз розрахуємо площу бічної поверхні конуса. Для цього використаємо формулу:

\[ S_{\text{біч}} = \pi \cdot r \cdot l \]

Де \( S_{\text{біч}} \) - площа бічної поверхні, \( \pi \approx 3.14 \) - число пі (приблизне значення), \( r \) - радіус основи конуса, \( l \) - довжина генератриси конуса.

Відомо, що радіус основи конуса рівний одному з катетів прямокутного трикутника. Отже, радіус \( r = a \).

Підставивши значення радіуса \( r \) та довжини генератриси \( l \) в формулу, отримаємо:

\[ S_{\text{біч}} = \pi \cdot a \cdot \sqrt{c^2 - a^2} \]

Отже, площа бічної поверхні конуса, утвореного обертанням прямокутного трикутника навколо катета, протилежного заданому куту \( \alpha \), дорівнює \( \pi \cdot a \cdot \sqrt{c^2 - a^2} \).