Какова площадь боковой поверхности конуса, который вписан в шар объемом 288п, если основание конуса - большой круг?

Для начала давайте разберемся, что значит "вписан в шар". Конус вписан в шар, если его вершина лежит на поверхности шара, а основание конуса является кругом, лежащим в этой же плоскости.

Теперь давайте посмотрим на свойства вписанных конусов. Один из фактов, которым мы будем пользоваться, заключается в том, что биссектрисы углов треугольника (в данном случае — боковые ребра конуса) делят противолежащие им стороны (в данном случае — окружность) в отношении радиусов шара и конуса.

Исходя из этого свойства, мы можем сказать, что радиусы шара и конуса имеют такое отношение: \(\frac{{R}}{{r}}\), где \(R\) — радиус шара, а \(r\) — радиус конуса.

Теперь мы можем выразить радиус конуса через радиус шара и использовать это, чтобы найти площадь боковой поверхности конуса.

Мы знаем, что объем шара выражается формулой \(V = \frac{{4}}{{3}} \pi R^3\), где \(V\) — объем шара, а \(R\) — радиус шара. Для данной задачи объем шара равен \(288\pi\), поэтому мы получаем уравнение:

\(\frac{{4}}{{3}} \pi R^3 = 288\pi\)

Давайте найдем радиус шара \(R\):
\[
\begin{align*}
\frac{{4}}{{3}} \pi R^3 &= 288\pi \\
R^3 &= \frac{{288\pi}}{{\frac{{4}}{{3}} \pi}} \\
R^3 &= 72 \cdot 3 \\
R^3 &= 216 \\
R &= \sqrt[3]{216} \\
R &= 6
\end{align*}
\]

Теперь мы можем найти радиус конуса \(r\):
\[
\begin{align*}
\frac{{R}}{{r}} &= \frac{{6}}{{r}} \\
r &= \frac{{R}}{{\sqrt{3}}} \\
r &= \frac{{6}}{{\sqrt{3}}} \\
r &= 2\sqrt{3}
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть радиус конуса. Для нахождения площади боковой поверхности конуса используем формулу \(S = \pi r l\), где \(S\) — площадь боковой поверхности, \(r\) — радиус конуса, а \(l\) — образующая конуса.

Образующей конуса будет являться высота \(h\), и мы можем найти ее, используя теорему Пифагора: \(h = \sqrt{R^2 - r^2}\).
\[
\begin{align*}
h &= \sqrt{R^2 - r^2} \\
h &= \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} \\
h &= \sqrt{36 - 12} \\
h &= \sqrt{24} \\
h &= 2\sqrt{6}
\end{align*}
\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности конуса:
\[
\begin{align*}
S &= \pi r l \\
S &= \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} \\
S &= 4\pi \sqrt{18} \\
S &= 12\pi \sqrt{2}
\end{align*}
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса, вписанного в шар объемом \(288\pi\), равна \(12\pi \sqrt{2}\).