Яка довжина меншої сторони прямокутника, якщо більша сторона дорівнює 2 корінь 21 см, а відношення меншої сторони

Давайте решим эту задачу пошагово. Для начала, пусть \(a\) обозначает длину меньшей стороны прямоугольника, а \(b\) обозначает длину большей стороны.

У нас уже дано, что \(b = 2 \sqrt{21}\) см.

Также нам известно, что отношение меньшей стороны к диагонали составляет 2:5. Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы связать длину диагонали с длинами сторон прямоугольника.

Для прямоугольника с меньшей стороной \(a\) и большей стороной \(b\), диагональ \(d\) может быть найдена по формуле:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Мы знаем, что отношение меньшей стороны к диагонали составляет 2:5, поэтому мы можем записать следующее уравнение:

\(\frac{a}{d} = \frac{2}{5}\)

Теперь мы можем подставить \(d\) из формулы диагонали в это уравнение:

\(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{2}{5}\)

Далее, чтобы избавиться от корня в знаменателе, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

\(\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2\)

Теперь упростим эту часть:

\(\frac{a^2}{a^2 + b^2} = \frac{4}{25}\)

Перейдем к следующему шагу, умножив обе части уравнения на \(a^2 + b^2\):

\(a^2 = \frac{4}{25} (a^2 + b^2)\)

Далее раскроем скобки:

\(a^2 = \frac{4}{25} a^2 + \frac{4}{25} b^2\)

Перенесем все, что содержит \(a^2\), на левую сторону, а все, что содержит \(b^2\), на правую сторону:

\(a^2 - \frac{4}{25} a^2 = \frac{4}{25} b^2\)

Теперь упростим это уравнение:

\(\frac{21}{25} a^2 = \frac{4}{25} b^2\)

Делаем замену \(b = 2 \sqrt{21}\):

\(\frac{21}{25} a^2 = \frac{4}{25} (2 \sqrt{21})^2\)

Упростим правую часть уравнения:

\(\frac{21}{25} a^2 = \frac{4}{25} \cdot 4 \cdot 21\)

\(\frac{21}{25} a^2 = \frac{4}{25} \cdot 84\)

\(\frac{21}{25} a^2 = \frac{336}{25}\)

Теперь, чтобы найти \(a^2\), поделим обе части уравнения на \(\frac{21}{25}\):

\(a^2 = \frac{336}{25} \div \frac{21}{25}\)

Упростим это деление:

\(a^2 = 16\)

Наконец, возьмем квадратный корень на обеих сторонах уравнения, чтобы найти \(a\):

\(a = \sqrt{16}\)

\(a = 4\)

Таким образом, длина меньшей стороны прямоугольника равна 4 см.