Яка буде сума п‘яти перших членів геометричної прогресії, якщо знаменник її прогресії є додатним, а четвертий та шостий

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, а затем просуммировать первые пять членов.

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии.
Дано, что четвертый член прогрессии равен -108, а шестой член равен -972. Для нахождения знаменателя прогрессии, мы можем разделить шестой член на четвертый член, так как каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на знаменатель прогрессии.

\[
\text{Знаменатель} = \frac{{\text{Шестой член}}}{{\text{Четвертый член}}} = \frac{{-972}}{{-108}} = 9
\]

Таким образом, получаем значение знаменателя равным 9.

Шаг 2: Найдем первый член прогрессии.
Для этого мы можем использовать формулу для нахождения любого члена геометрической прогрессии:

\[
\text{Член}_n = \text{Первый член} \times \text{Знаменатель}^{(n-1)}
\]

Подставим известные значения из задачи: Четвертый член равен -108 и Знаменатель равен 9.

\[
-108 = \text{Первый член} \times 9^{(4-1)}
\]

Упростим это уравнение:

\[
-108 = \text{Первый член} \times 9^3
\]

\[
-108 = \text{Первый член} \times 729
\]

Делим обе части уравнения на 729, чтобы найти первый член:

\[
\text{Первый член} = \frac{{-108}}{{729}} = -\frac{{4}}{{27}}
\]

Таким образом, первый член прогрессии равен -4/27.

Шаг 3: Найдем сумму первых пяти членов прогрессии.
Для этого мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[
\text{Сумма}_n = \frac{{\text{Первый член} \times (\text{Знаменатель}^n - 1)}}{{\text{Знаменатель} - 1}}
\]

Подставим значения из задачи: Первый член равен -4/27 и Знаменатель равен 9.

\[
\text{Сумма}_5 = \frac{{-\frac{{4}}{{27}} \times (9^5 - 1)}}{{9 - 1}}
\]

\[
\text{Сумма}_5 = \frac{{-\frac{{4}}{{27}} \times (59048 - 1)}}{{8}}
\]

\[
\text{Сумма}_5 = \frac{{-\frac{{4}}{{27}} \times 59047}}{{8}}
\]

Выполним вычисления:

\[
\text{Сумма}_5 = \frac{{-236188}}{{216}}
\]

\[
\text{Сумма}_5 = -1094
\]

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна -1094.