Вариант II 1. Каково наименьшее и наибольшее значение функции y=cos(x), на промежутке [3π/4;11π/6]? 2. Как записать

1. Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции \(y = \cos(x)\) на промежутке \([3\pi/4; 11\pi/6]\), нужно проанализировать значения косинуса на данном промежутке.

- Найдем наименьшее значение функции: \(y = \cos(x)\) принимает наименьшее значение (-1) при \(x = \pi\). Однако, это значение не входит в заданный промежуток, поэтому нам интересны значения косинуса на границах интервала. Подставим границы интервала в функцию: \(y_1 = \cos(3\pi/4)\approx -0.707\) и \(y_2 = \cos(11\pi/6)\approx -0.866\).

- Поэтому наименьшее значение функции \(y = \cos(x)\) на промежутке \([3\pi/4; 11\pi/6]\) равно -0.866.

- Аналогично, наибольшее значение функции на данном промежутке будет соответствовать границам интервала. Подставим границы интервала в функцию: \(y_3 = \cos(3\pi/4)\approx -0.707\) и \(y_4 = \cos(11\pi/6)\approx 0.5\).

- Поэтому наибольшее значение функции \(y = \cos(x)\) на промежутке \([3\pi/4; 11\pi/6]\) равно 0.5.

2. а) Представим тригонометрическую функцию \(y = \cos^2(\pi - t) + \sin^2(t - \pi)\) в трехэтапной форме:
- По формуле суммы квадратов тригонометрических функций: \(1 = \cos^2(\pi - t) + \sin^2(\pi - t)\).
- С учетом того, что \(\sin(\pi - t) = \sin(\pi)\cos(t) - \cos(\pi)\sin(t) = \cos(t)\) и \(\cos(\pi - t) = -\cos(t)\), получим:
\(1 = (-\cos(t))^2 + \cos^2(t) = \cos^2(t) + \cos^2(t) = 2\cos^2(t)\).
- Таким образом, искомое представление функции: \(y = 2\cos^2(t)\).

б) Представим тригонометрическую функцию \(y = \cos(t)\cdot \mathrm{ctg}(\pi/2 + t)\cdot \cos(\pi/2 + t)\) в трехэтапной форме:
- По определению \(\mathrm{ctg}(\pi/2 + t) = {{\cos(\pi/2 + t)}\over{\sin(\pi/2 + t)}}\).
- Подставим это значение в исходную функцию: \(y = \cos(t) \cdot {{\cos(\pi/2 + t)}\over{\sin(\pi/2 + t)}} \cdot \cos(\pi/2 + t)\).
- Сократим \(\cos(\pi/2 + t)\) в числителе и знаменателе:
\(y = \cos(t) \cdot {{\cos(\pi/2 + t)}\over{\sin(\pi/2 + t)}} \cdot \cos(\pi/2 + t) =
\cos(t) \cdot \cos(\pi/2 + t) = \cos(t) \cdot (-\sin(t)) = -\cos(t) \cdot \sin(t)\).

Таким образом, а) \(y = 2\cos^2(t)\), б) \(y = -\cos(t) \cdot \sin(t)\).

3. Для решения уравнения \(\sin(\pi + t) + \cos(\pi/2 + t) = \sqrt{2}\) применим известные тригонометрические формулы:
- Используем формулу суммы синусов: \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\).
- Применяем данную формулу и получим:
\(\sin(\pi)\cos(t) + \cos(\pi)\sin(t) + \cos(\pi/2)\cos(t) - \sin(\pi/2)\sin(t) = \sqrt{2}\).
- Упрощаем уравнение с учетом известных значений \(\sin(\pi) = 0\), \(\cos(\pi) = -1\), \(\cos(\pi/2) = 0\) и \(\sin(\pi/2) = 1\):
\(-\cos(t) + \sin(t) - \sin(t) = \sqrt{2}\).
- Выражаем \(\cos(t)\) через \(\sin(t)\): \(-2\sin(t) = \sqrt{2}\).
- Делим обе части уравнения на -2: \(\sin(t) = -\sqrt{2}/2\).
- Результатом является значение \(\sin(t) = -\sqrt{2}/2\).

4. Чтобы построить график функции \(y = \sin(x + \pi/4) - 3\), выполним следующие шаги:
- Найдем основные характеристики функции. В данном случае, амплитуда функции равна 1, период равен \(2\pi\), сдвиг по оси \(x\) равен \(-\pi/4\) и сдвиг по оси \(y\) равен \(-3\).
- Начнем построение графика, используя найденные характеристики:
- Начнем с вертикального отступа на -3 единицы по оси \(y\).
- Установим \(x = 0\) и поставим точку на графике.
- Перейдем на период \(2\pi\) вправо и установим точку.
- Продолжим этот процесс для других точек до достижения требуемого интервала.
- Соединим точки графиком с помощью плавных кривых линий.
- Получим график функции \(y = \sin(x + \pi/4) - 3\).

5. Для построения графика функции \(y = 2\cos(x^3)\), выполним следующие шаги:
- Разобьем интервал значений \(x\) на несколько точек, отражающих форму функции.
- Выберем значения \(x\) и поставим их на горизонтальной оси.
- Вычислим соответствующие значения \(y\) для каждого выбранного значения \(x\), используя уравнение \(y = 2\cos(x^3)\).
- Поставим точки на графике с координатами \((x, y)\).
- Соединим точки графиком с помощью плавных кривых линий.
- Получим график функции \(y = 2\cos(x^3)\).

6. Чтобы доказать, что \(f(x) = -4x^2 + 3x - 4\) и \(f(\cos(x)) = -4\sin^2(x) + 3\cos(x)\), выполним следующие шаги:
- Подставим \(\cos(x)\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(\cos(x)) = -4(\cos(x))^2 + 3(\cos(x)) - 4.\]
- Применим тригонометрическую формулу \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) для замены \(\cos^2(x)\):
\[f(\cos(x)) = -4(1 - \sin^2(x)) + 3(\cos(x)) - 4.\]
- Раскроем скобки и упростим выражение:
\[f(\cos(x)) = -4 + 4\sin^2(x) + 3\cos(x) - 4.\]
- Сгруппируем подобные элементы:
\[f(\cos(x)) = -4\sin^2(x) + 3\cos(x).\]

Таким образом, доказано, что \(f(x) = -4x^2 + 3x - 4\) и \(f(\cos(x)) = -4\sin^2(x) + 3\cos(x)\).