Что является результатом вычисления выражения: котангенс (-3п/4) умножить на косинус 150° умножить на синус 5п/3?

Давайте рассчитаем результат вычисления данного выражения шаг за шагом, чтобы обеспечить максимальное понимание.

1. Начнем с вычисления котангенса угла \(-\frac{3\pi}{4}\). Котангенс является обратной функцией тангенсу и может быть выражен формулой:

\[\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\]

В нашем случае \(x = -\frac{3\pi}{4}\). Давайте вычислим тангенс данного угла:

\[\tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}{\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}\]

Теперь нам понадобятся значения синуса и косинуса угла \(-\frac{3\pi}{4}\).

Для удобства рассмотрим единичный круг на координатной плоскости, где угол -\frac{3\pi}{4} отсчитывается против часовой стрелки от положительной оси \(x\). Учитывая это, мы видим, что синус угла \(-\frac{3\pi}{4}\) равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\), а косинус -\frac{3\pi}{4} равен \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, получаем:

\[\tan\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)}{\cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right)} = \frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}} = 1\]

Используя это значение, вычислим котангенс:

\[\cot\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{1}{1} = 1\]

2. Теперь перейдем к вычислению косинуса угла 150°. Вспомним, что \(180°\) соответствует \(\pi\) радиан, поэтому \(150°\) равно \(\frac{5\pi}{6}\) радианам.

Значение косинуса для угла \(\frac{5\pi}{6}\) можно найти с использованием тригонометрической окружности. На единичной окружности при \(150°\) угол отсчитывается против часовой стрелки от положительной оси \(x\). Таким образом, получаем:

\[\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\]

3. Наконец, посчитаем синус угла \(\frac{5\pi}{3}\). Заметим, что \(\frac{5\pi}{3}\) соответствует \(300°\), что на \(\pi\) радиан больше \(180°\).

На тригонометрической окружности при \(300°\) угол отсчитывается против часовой стрелки от положительной оси \(x\). Этот угол соответствует \(\frac{5\pi}{3}\) радиан. Таким образом:

\[\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

4. Теперь, имея значения котангенса, косинуса и синуса, умножим их:

\[\text{Результат} = \cot\left(-\frac{3\pi}{4}\right) \times \cos\left(\frac{150°}{180}\pi\right) \times \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right) = 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]
\[\text{Результат} = \frac{\sqrt{3}}{4}\]

Таким образом, результат вычисления данного выражения равен \(\frac{\sqrt{3}}{4}\).