What is the value of the expression 6 times the quantity of tangent of the quantity 2π minus t minus sine

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать знания о тригонометрических функциях.

Итак, у нас есть следующее выражение:
\[6 \cdot \left(\tan\left(2\pi - t\right) - \sin\left(\pi + t\right)\right) \div \left(\cot\left(\frac{\pi}{2} + t\right) + \sin(t)\right)\]

Давайте рассмотрим каждую часть выражения по очереди.

1. \(\tan(2\pi - t)\):
Так как аргумент функции тангенс (\(2\pi - t\)) является разностью двух углов, мы можем использовать тригонометрический тождества для тангенса.
Выражение \(2\pi - t\) представляет угол с тем же значением, как и угол \(t\). Поэтому \(\tan(2\pi - t)\) равно \(\tan(t)\).

2. \(\sin(\pi + t)\):
Здесь мы рассматриваем сумму углов \(\pi + t\), и мы можем использовать тригонометрические тождества для синуса. Поскольку синус является нечётной функцией, то \(\sin(\pi + t)\) равно \(-\sin(t)\).

Таким образом, после замены, наше исходное выражение примет следующий вид:
\[6 \cdot \left(\tan(t) + (-\sin(t))\right) \div \left(\cot\left(\frac{\pi}{2} + t\right) + \sin(t)\right)\]

3. \(\cot\left(\frac{\pi}{2} + t\right)\):
Аналогично предыдущим шагам, мы замечаем, что аргумент функции котангенс (\(\frac{\pi}{2} + t\)) соответствует сумме угла \(t\) и угла \(\frac{\pi}{2}\). Воспользовавшись тригонометрическими тождествами для котангенса и суммы углов, получим:
\[\cot\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = \cot(t)\]

Теперь мы можем переписать выражение следующим образом:
\[6 \cdot \left(\tan(t) - \sin(t)\right) \div \left(\cot(t) + \sin(t)\right)\]

4. Объединение всех частей:
Теперь, заменив \(\tan(t)\), \(\sin(t)\) и \(\cot(t)\) в исходном выражении, получим:
\[6 \cdot \left(\tan(t) - \sin(t)\right) \div \left(\cot(t) + \sin(t)\right) = 6 \cdot \left(\tan(t) - \sin(t)\right) \div \left(\cot(t) + \sin(t)\right)\]

Обратите внимание, что здесь не выполняются упрощения, так как все тригонометрические функции остаются без изменений.

Таким образом, значение данного выражения равно \(6 \cdot \left(\tan(t) - \sin(t)\right) \div \left(\cot(t) + \sin(t)\right)\) и не может быть упрощено без дополнительной информации о значении \(t\)