What is the value of the expression 4cos 840, square root of 48 sin 600, plus the square of the tangent?

Чтобы решить данное уравнение, нам потребуется использовать три разных функции тригонометрии: косинус, синус и тангенс. Давайте рассмотрим каждую из них по отдельности и последовательно заменим значения.

1. Начнем с косинуса. Мы должны вычислить значение \(4\cos(840^\circ)\). Для этого нам потребуется воспользоваться функцией косинуса, где аргументом является угол в градусах.
Подставляя значение \(840\) в функцию косинуса, получим:
\[4\cos(840^\circ) = 4\cos(800^\circ + 40^\circ)\]

Так как косинус - периодическая функция с периодом \(360^\circ\), мы можем переписать угол в виде суммы двух углов:
\[4\cos(840^\circ) = 4\cos(800^\circ)\cos(40^\circ) - 4\sin(800^\circ)\sin(40^\circ)\]

Теперь давайте заменим значения функций, используя таблицы значений тригонометрических функций. Заметим, что \(\cos(800^\circ)\) и \(\sin(800^\circ)\) равны \(-0.5\) и \(-0.866\) соответственно.
\[4\cos(840^\circ) = 4 \cdot (-0.5) \cdot \cos(40^\circ) - 4 \cdot (-0.866) \cdot \sin(40^\circ)\]

Теперь давайте вычислим значение \(\cos(40^\circ)\) и \(\sin(40^\circ)\) необходимые для продолжения.
Подставляя значения в таблицу, мы получаем:
\(\cos(40^\circ) = 0.766\) и \(\sin(40^\circ) = 0.643\).

Теперь мы можем вычислить значение \(4\cos(840^\circ)\):
\[4\cos(840^\circ) = 4 \cdot (-0.5) \cdot 0.766 - 4 \cdot (-0.866) \cdot 0.643\]
\[4\cos(840^\circ) \approx -1.532\]

2. Далее вычислим значение \(\sqrt{48\sin(600^\circ)}\). Здесь мы должны вычислить значение синуса и умножить его на квадратный корень из 48. Аналогичным образом, заменим значение синуса и вычислим:
\(\sin(600^\circ)\) можно записать как \(\sin(600^\circ) = \sin(360^\circ + 240^\circ)\)

Используя периодичность синуса, выразим это значение:
\(\sin(600^\circ) = \sin(240^\circ)\)

Подставляя значение в таблицу, получим \(\sin(240^\circ) = -0.866\)

Теперь мы можем вычислить значение \(\sqrt{48\sin(600^\circ)}\):
\(\sqrt{48\sin(600^\circ)} = \sqrt{48 \cdot -0.866}\)
\(\sqrt{48\sin(600^\circ)} = -8.964\)

3. И наконец, вычислим значение \(\tan^2(0)\). Тангенс угла 0 равен 0, поэтому его квадрат тоже равен 0: \(\tan^2(0) = 0\)

Теперь соберем все вместе:
\(4\cos(840^\circ)\) дало нам приближенное значение \(-1.532\),
\(\sqrt{48\sin(600^\circ)}\) равно \(-8.964\),
квадрат тангенса \(0\) равен \(0\).

Подставим все значения обратно в исходное выражение:
\(-1.532 + (-8.964) + 0 = -10.496\)

Таким образом, итоговое значение выражения \(4\cos(840^\circ) + \sqrt{48\sin(600^\circ)} + \tan^2(0)\) равно \( -10.496\).