Каков модуль вектора mn, если m(корень трёх, корень двух, корень пяти), n(два корня из трёх, три корня из двух, корень

Для начала, найдем разности координат вектора \( \overrightarrow{mn} \). Используя определение вектора как разности координат конца и начала, получаем:

\[ \overrightarrow{mn} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \]

где \( x_1, y_1, z_1 \) - координаты начала вектора \( m \), а \( x_2, y_2, z_2 \) - координаты конца вектора \( n \).

Используя данные из условия задачи:

\( m(\sqrt{3}, \sqrt{2}, \sqrt{5}) \)

\( n(2\sqrt{3}, 3\sqrt{2}, \sqrt{4}) \)

Можем записать:

\( x_2 - x_1 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3} \)
\( y_2 - y_1 = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
\( z_2 - z_1 = \sqrt{4} - \sqrt{5} \)

Теперь найдем квадраты этих разностей:

\( (\sqrt{3})^2 = 3 \)
\( (2\sqrt{2})^2 = 8 \)
\( (\sqrt{4} - \sqrt{5})^2 = 4 - 2\sqrt{20} + 5 = 9 - 2\sqrt{20} \)

Искомый модуль вектора \( \overrightarrow{mn} \) равен квадратному корню из суммы квадратов разностей координат:

\[ | \overrightarrow{mn} | = \sqrt{3 + 8 + (9 - 2\sqrt{20})} \]

\[ | \overrightarrow{mn} | = \sqrt{20 - 2\sqrt{20} + 11} \]

Чтобы упростить этот корень, заметим, что \( 20 - 2\sqrt{20} + 11 = (\sqrt{20} - 1)^2 \)

Таким образом, модуль вектора \( \overrightarrow{mn} \) равен:

\[ | \overrightarrow{mn} | = \sqrt{(\sqrt{20} - 1)^2} \]

\[ | \overrightarrow{mn} | = \sqrt{20} - 1 \]

Итак, модуль вектора \( \overrightarrow{mn} \) равен \( \sqrt{20} - 1 \).