What is the solution to (9^x-2*3^x)^2-62(9^x-2*3^x)-63>?

Давайте посмотрим, как решить данную задачу. Для начала, давайте заметим, что в данном уравнении у нас присутствует переменная \(x\). Наша цель - найти значение \(x\), которое является решением уравнения. Давайте начнем с пошагового решения:

1. Разложим выражение \((9^x-2\cdot3^x)^2\):
\((9^x-2\cdot3^x)^2 = (9^x)^2 - 2 \cdot 2 \cdot 9^x \cdot 3^x + (2\cdot3^x)^2\)
\((9^x-2\cdot3^x)^2 = 81^x - 4\cdot9^x\cdot3^x + 4\cdot9^x\)
\((9^x-2\cdot3^x)^2 = 81^x - 4 \cdot 9^x \cdot 3^x + 4 \cdot 9^x\)
\((9^x-2\cdot3^x)^2 = 81^x\)

2. Теперь заметим, что данное уравнение может быть записано в виде:
\(81^x - 62(9^x-2\cdot3^x) - 63 > 0\)

3. Раскроем скобки:
\(81^x - 62\cdot9^x + 4\cdot9^x\cdot3^x - 63 > 0\)

4. Сократим:
\(81^x - 62\cdot9^x + 36\cdot9^x - 63 > 0\)

5. Объединим подобные члены:
\(81^x - 26\cdot9^x - 63 > 0\)

6. Обозначим \(9^x\) как \(a\):
\(a^2 - 26a - 63 > 0\)

7. Решим квадратное уравнение:
\(a^2 - 26a - 63 = 0\)

Для того, чтобы найти корни данного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта. Дискриминант \(D\) для квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень. И если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

8. Вычислим дискриминант для данного уравнения:
\[D = (-26)^2 - 4\cdot1\cdot(-63) = 676 + 252 = 928\]

Поскольку \(D > 0\), у нас есть два различных корня.

9. Найдем значения \(a\) (или \(9^x\)) с помощью формулы квадратного корня:
\[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + \sqrt{928}}{2} \approx 24.45\]
\[a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - \sqrt{928}}{2} \approx 1.55\]

10. Обратимся к нашему обозначению и найдем значения \(x\) с помощью логарифма:
\(\log_9(a_1) = \log_9(24.45)\)
\(\log_9(a_2) = \log_9(1.55)\)

11. Используя логарифм, получим:
\(x \approx \log_9(24.45)\) and \(x \approx \log_9(1.55)\)

12. Вычислим значения \(x\) (округленные до двух знаков после запятой) с помощью калькулятора и окончательно ответим на задачу.

Таким образом, ответ на данную задачу - значения \(x\) в диапазоне, полученные через логарифмы, которые мы вычислили на шаге 12.