Во сколько раз снизилось суммарное излучение при увеличении температуры абсолютно черного тела и сдвиге максимума

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать закон Вина и формулу Стефана-Больцмана.

Закон Вина утверждает, что максимальная длина волны (λ) испускания абсолютно черного тела обратно пропорциональна его абсолютной температуре (T):
\[ \lambda = \frac{b}{T} \]
где b - постоянная Вина, равная приблизительно 2,898 × 10^-3 м·К.

Формула Стефана-Больцмана говорит нам, что мощность излучения (P) абсолютно черного тела пропорциональна четвёртой степени его абсолютной температуры:
\[ P = \sigma T^4 \]
где σ - постоянная Стефана-Больцмана, равная 5,67 × 10^-8 Вт/(м^2·К^4).

Итак, у нас есть начальная температура T1 = 5000K и максимальная длина волны λ1 = 500 нм.

Подставим эти значения в закон Вина, чтобы найти постоянную b:
\[ \lambda_1 = \frac{b}{T_1} \]
\[ b = \lambda_1 \cdot T_1 \]

Теперь мы можем использовать эту постоянную b, чтобы найти новую температуру T2, при которой максимальная длина волны станет 2 раза больше (1000 нм = 1 мкм):
\[ \lambda_2 = \frac{b}{T_2} \]
\[ T_2 = \frac{b}{\lambda_2} \]

Теперь мы можем сравнить суммарную мощность излучения P1 и P2 при температурах T1 и T2, используя формулу Стефана-Больцмана:
\[ P_1 = \sigma T_1^4 \]
\[ P_2 = \sigma T_2^4 \]

Чтобы найти относительное изменение суммарного излучения, мы можем разделить вторую мощность на первую:
\[ \frac{P_2}{P_1} = \frac{\sigma T_2^4}{\sigma T_1^4} \]
\[ \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 \]

Таким образом, относительное изменение суммарного излучения будет равно квадрату отношения новой температуры к начальной температуре в степени 4:
\[ \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4 \]

Давайте вычислим значения:

\[ b = 500 \cdot 10^{-9} \cdot 5000 \]
\[ T_2 = \frac{500 \cdot 10^{-9} \cdot 5000}{1000 \cdot 10^{-9}} \]
\[ P_1 = 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot (5000)^4 \]
\[ P_2 = 5,67 \cdot 10^{-8} \cdot \left(\frac{5000 \cdot 5000}{1000}\right)^4 \]
\[ \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{\left(\frac{5000 \cdot 5000}{1000}\right)}{5000}\right)^4 \]

А теперь вычислим результат:

\[ \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{25}{5}\right)^4 \]
\[ \frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{5}{1}\right)^4 \]
\[ \frac{P_2}{P_1} = 5^4 \]
\[ \frac{P_2}{P_1} = 625 \]

Итак, суммарное излучение снизилось в 625 раз при увеличении температуры абсолютно черного тела и сдвиге максимума испускания с 500 нм до 1000 нм.
Мы получили это значение, вычислив отношение мощностей излучения при новой и начальной температурах в четвертой степени.