Во сколько раз десятый член прогрессии больше ее четвертого члена, если четвертый член в 4 раза больше первого члена?

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать формулы и свойства арифметической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии будет обозначен как \( a \), а разность прогрессии как \( d \). Тогда мы можем записать формулу для \( n \)-го члена прогрессии:

\[ a_n = a + (n-1)d \]

В нашем случае, четвертый член прогрессии \( a_4 \) равен 4 разам первому члену \( a \):

\[ a_4 = 4a \]

Также нам известно, что десятый член прогрессии \( a_{10} \) больше четвертого члена \( a_4 \) в некоторое количество раз. Мы обозначим это количество раз как \( x \). Тогда мы можем записать следующее уравнение:

\[ a_{10} = a_4 \cdot x \]

Теперь давайте найдем значения \( a_4 \) и \( a_{10} \) с использованием известных данных. Мы знаем, что \( a_4 = 4a \), поэтому можем записать:

\[ a_4 = 4a = a + 3d \]

(мы использовали формулу для \( a_4 \) из арифметической прогрессии)

Теперь можем найти \( a \):

\[ 4a = a + 3d \implies 3a = 3d \implies a = d \]

Теперь мы знаем, что первый член прогрессии \( a \) равен разности прогрессии \( d \).

Теперь найдем \( a_{10} \):

\[ a_{10} = a + 9d = d + 9d = 10d \]

Далее, мы можем использовать полученные значения, чтобы решить уравнение \( a_{10} = a_4 \cdot x \):

\[ 10d = 4a \cdot x \]

Подставим, что \( a = d \):

\[ 10d = 4d \cdot x \]

Теперь можно решить это уравнение относительно \( x \):

\[ x = \frac{{10d}}{{4d}} = \frac{{5}}{{2}} \]

Итак, мы получили, что десятый член прогрессии больше четвертого члена в \(\frac{{5}}{{2}}\) раза.

Надеюсь, это подробное пошаговое решение помогло вам понять задачу.