Как найти решение системы уравнений, заданной следующим образом: x+5y+3z=21, 3x-2y+3z=16, -x+4y+2z=13?

Хорошо, начнем с решения данной системы уравнений.

1. Сначала мы можем выбрать любые два уравнения и использовать метод исключения или метод подстановки, чтобы найти значения переменных. Давайте выберем первые два уравнения.

Метод исключения:
Мы можем умножить первое уравнение на 3, а второе уравнение на 1, чтобы создать одинаковые коэффициенты при переменной z:

3(x + 5y + 3z) = 3(21) => 3x + 15y + 9z = 63 (1)
3x - 2y + 3z = 16 (2)

Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

(3x + 15y + 9z) - (3x - 2y + 3z) = 63 - 16

Упрощая, получаем:

17y + 6z = 47 (3)

2. Теперь давайте рассмотрим первое уравнение и уравнение (3), чтобы найти оставшееся значение переменной.

Начнем снова с первого уравнения:

x + 5y + 3z = 21 (4)
17y + 6z = 47 (3)

3. Если мы умножим уравнение (4) на 6 и уравнение (3) на 3, мы снова создадим одинаковые коэффициенты при переменной z:

6(x + 5y + 3z) = 6(21) => 6x + 30y + 18z = 126 (4)
3(17y + 6z) = 3(47) => 51y + 18z = 141 (5)

Теперь вычтем уравнение (5) из уравнения (4):

(6x + 30y + 18z) - (51y + 18z) = 126 - 141

Упрощая, получаем:

6x - 21y = -15 (6)

4. Итак, у нас есть два уравнения: (6) и (3). Теперь мы можем решить эту систему двух уравнений с двумя переменными. Давайте решим ее, используя метод исключения или метод подстановки.

Метод исключения:
Умножим уравнение (6) на 17 и уравнение (3) на 6, чтобы создать одинаковые коэффициенты при переменной y:

17(6x - 21y) = 17(-15) => 102x - 357y = -255 (7)
6(17y + 6z) = 6(47) => 102y + 36z = 282 (8)

Теперь вычтем уравнение (7) из уравнения (8):

(102x - 357y) - (102y + 36z) = -255 - 282

Упрощая, получаем:

102x - 393y + 36z = -537 (9)

5. Теперь у нас есть два уравнения: (9) и (3). Мы можем использовать метод исключения или метод подстановки, чтобы найти значение переменной z.

Метод исключения:
Умножим уравнение (9) на 17 и уравнение (3) на 102, чтобы создать одинаковые коэффициенты при переменной z:

17(102x - 393y + 36z) = 17(-537) => 1734x - 6681y + 612z = -9132 (10)
102(17y + 6z) = 102(47) => 1734y + 612z = 2886 (11)

Теперь вычтем уравнение (11) из уравнения (10):

(1734x - 6681y + 612z) - (1734y + 612z) = -9132 - 2886

Упрощая, получаем:

1734x - 7353y = -12018 (12)

6. Таким образом, мы получили два уравнения с двумя переменными: (6) и (12). Решив эту систему уравнений, мы сможем найти значения x и y.

Решаем систему уравнений (6) и (12):

6x - 21y = -15 (6)
1734x - 7353y = -12018 (12)

Выразим x из уравнения (6):

6x = -15 + 21y
x = (-15 + 21y)/6

Теперь подставим выражение для x в уравнение (12):

1734((-15 + 21y)/6) - 7353y = -12018

Упрощая, получаем:

(-2555y + 7670)/2 - 7353y = -12018
-2555y + 7670 - 14706y = -24036
-17261y = -31706
y = -31706/-17261
y ≈ 1.8374

7. Теперь, когда у нас есть значение y ≈ 1.8374, мы можем подставить его в уравнение (6), чтобы найти значение x:

6x - 21(1.8374) = -15
6x - 38.5967 = -15
6x ≈ 23.5967
x ≈ 3.9328

8. Теперь, когда у нас есть значения x ≈ 3.9328 и y ≈ 1.8374, мы можем подставить их в одно из исходных уравнений, например, в первое уравнение:

x + 5y + 3z = 21
3.9328 + 5(1.8374) + 3z = 21
3.9328 + 9.187 + 3z = 21
13.1198 + 3z = 21
3z = 7.8802
z = 7.8802/3
z ≈ 2.6267

Таким образом, решение данной системы уравнений состоит из x ≈ 3.9328, y ≈ 1.8374 и z ≈ 2.6267.