Ваша задача состоит в том, чтобы переформулировать вопрос следующим образом: Сформулируйте и докажите рекуррентную

Хорошо, давайте сформулируем и докажем рекуррентную формулу для последовательности.

Пусть у нас есть последовательность чисел \(a_0, a_1, a_2, \ldots\) Рекуррентная формула позволяет нам найти каждый элемент этой последовательности, используя предыдущие элементы.

Чтобы сформулировать рекуррентную формулу, нам нужно определить, какой будет \(n\)-ый элемент в зависимости от предыдущих элементов.

Для этого возьмем пример. Предположим, что каждый элемент последовательности равен сумме двух предыдущих элементов. Тогда рекуррентная формула будет выглядеть следующим образом:

\[a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\]

В этой формуле \(a_n\) - \(n\)-ый элемент последовательности, \(a_{n-1}\) - предыдущий элемент, \(a_{n-2}\) - элемент, предшествующий предыдущему элементу.

Теперь нам нужно доказать, что эта формула действительно работает для всех элементов последовательности.

Доказательство проводится по индукции.

Base Case: Проверим, что формула выполняется для \(n = 0\) и \(n = 1\). У нас есть:

\[a_0 = a_{-1} + a_{-2} \quad (\text{по формуле})\]

\[a_0 = a_0 + a_{-1} \quad (\text{подставим \(a_{-1} = a_0 + a_{-2}\)})\]

\[a_0 = a_0 + \left(a_0 + a_{-2}\right)\]

\[a_0 = a_0 + a_0 + a_{-2}\]

\[a_0 = 2a_0 + a_{-2}\]

\[a_0 = a_{-2} + a_0 \quad (\text{переставим слагаемые})\]

Это уравнение верно, что показывает нам, что формула работает для \(n = 0\).

Теперь проверим для \(n = 1\). У нас есть:

\[a_1 = a_0 + a_{-1} \quad (\text{по формуле})\]

\[a_1 = a_0 + (a_0 + a_{-2}) \quad (\text{подставим \(a_{-1} = a_0 + a_{-2}\)})\]

\[a_1 = 2a_0 + a_{-2}\]

\[a_1 = a_{-2} + 2a_0 \quad (\text{переставим слагаемые})\]

Это уравнение также верно, что подтверждает, что формула работает для \(n = 1\).

Inductive Step: Предположим, что формула выполняется для \(n = k\) и \(n = k-1\), где \(k\) — любое положительное число.

Тогда нам нужно показать, что она также выполняется для \(n = k + 1\).

Имеем:

\[a_{k+1} = a_k + a_{k-1} \quad (\text{по формуле})\]

Подставим формулу для \(n = k\) и \(n = k-1\):

\[a_{k+1} = (a_{k-1} + a_{k-2}) + a_{k-1}\]

\[a_{k+1} = 2a_{k-1} + a_{k-2}\]

Таким образом, формула также работает для \(n = k + 1\).

Следовательно, по принципу математической индукции, рекуррентная формула \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\) является верной для всех элементов последовательности.