1. Как можно изобразить на графике функцию у = 3√x + 2? a) Какие наибольшее и наименьшее значения принимает функция

Для начала изобразим график функции \(y = 3\sqrt{x} + 2\).

Шаг 1: Построение осей координат
Начнем с построения осей координат. Ось X будет горизонтальной осью, а ось Y - вертикальной. Разместим их перпендикулярно друг к другу на бумаге.

Шаг 2: Разметка осей координат
На обоих осях нанесем деления и подпишем их значения. На оси X маркировка должна быть в интервале от -1 до 6, так как нам нужно найти значения функции на отрезке [-1; 6]. Значения на оси Y будут зависеть от графика функции, который мы еще строим.

Шаг 3: Построение графика функции \(y = 3\sqrt{x} + 2\)
Теперь приступим к построению графика функции. Для этого выберем несколько значений \(x\) в интервале [-1; 6], подставим их в функцию и найдем соответствующие значения \(y\).

Давайте подставим \(x = -1\) в функцию:
\(y = 3\sqrt{-1} + 2 = 3i + 2\), где \(i\) - мнимая единица.
Так как радикал из отрицательного числа не является действительным числом, то функция не определена при \(x = -1\).

Подставим теперь \(x = 0\):
\(y = 3\sqrt{0} + 2 = 2\).
Таким образом, получаем координату точки (0, 2) на графике.

Подставим \(x = 1\):
\(y = 3\sqrt{1} + 2 = 3 + 2 = 5\).
Точка (1, 5) также находится на графике.

Подставим \(x = 4\):
\(y = 3\sqrt{4} + 2 = 3 \cdot 2 + 2 = 8\).
Точка (4, 8) принадлежит графику.

Подставим \(x = 6\):
\(y = 3\sqrt{6} + 2\).
Вычисление значения в точности будет сложно, так как квадратный корень из 6 - иррациональное число. Однако, мы можем примерно приблизить это значение.

\(3\sqrt{6}\) примерно равно 7,4833 (с округлением до 4 значащих цифр).
Тогда \(y \approx 7,4833 + 2 = 9,4833\).
Можно принять (6, 9.4833) как приближенное значение.

Теперь просто соединим найденные точки на графике функции \(y = 3\sqrt{x} + 2\). Получаем подобный график:

\[grafik\]

Теперь перейдем к следующей части задачи.

а) Наибольшее и наименьшее значения функции \(y = 3\sqrt{x} + 2\) на отрезке \([-1; 6]\).

Для определения наибольшего и наименьшего значения функции на указанном отрезке, нам следует проанализировать поведение графика в этом интервале. Мы видим, что график функции возрастает, так как корень квадратный всегда неположителен или равен нулю.

Наибольшее значение функции на этом интервале достигается в точке (6, 9.4833), а наименьшее значение - в точке (0, 2).

б) Теперь нам нужно найти точки пересечения графиков функций \(y = 3\sqrt{x} + 2\) и \(y = |x-2|\).

Для этого приравняем две функции и решим полученное уравнение.

\(3\sqrt{x} + 2 = |x-2|\).

Разберем решение на несколько случаев:

Случай 1: \(x - 2 \geq 0\). В этом случае модуль \(|x-2|\) можно убрать:
\(3\sqrt{x} + 2 = x - 2\).

Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения:
\((3\sqrt{x} + 2)^2 = (x - 2)^2\).

Раскроем скобки и получим:
\(9x + 12\sqrt{x} + 4 = x^2 - 4x + 4\).

Получаем квадратное уравнение:
\(x^2 - 13x + 8 - 12\sqrt{x} = 0\).

Случай 2: \(x - 2 < 0\). В этом случае модуль \(|x-2|\) становится отрицательным:
\(3\sqrt{x} + 2 = -(x - 2)\).

Опять же, возводим обе части уравнения в квадрат:
\((3\sqrt{x} + 2)^2 = (-x + 2)^2\).

Раскрываем скобки и получаем:
\(9x + 12\sqrt{x} + 4 = x^2 - 4x + 4\).

Получаем квадратное уравнение:
\(x^2 - 13x + 8 - 12\sqrt{x} = 0\).

Таким образом, мы получаем одно и то же квадратное уравнение в обоих случаях. Решая его численно или графически, мы найдем две точки пересечения графиков указанных функций.