Какова сумма и произведение корней уравнения 2x²-6x-14=0?

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом:

1. Нам дано уравнение: \(2x^2 - 6x - 14 = 0\).
2. Чтобы найти корни уравнения, мы можем использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).
3. В нашем случае \(a = 2\), \(b = -6\), \(c = -14\).
4. Рассчитаем дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 36 + 112 = 148\).
5. Так как дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас будет два вещественных корня.
6. Формула для нахождения корней из уравнения выглядит следующим образом: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
7. Подставим значения в формулу и рассчитаем корни:
\[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{148}}{2 \cdot 2} = \frac{6 + \sqrt{148}}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{37}}{4} = \frac{3 + \sqrt{37}}{2}\]
\[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{148}}{2 \cdot 2} = \frac{6 - \sqrt{148}}{4} = \frac{6 - 2\sqrt{37}}{4} = \frac{3 - \sqrt{37}}{2}\]
Таким образом, корни уравнения равны \(x_1 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2}\) и \(x_2 = \frac{3 - \sqrt{37}}{2}\).

Теперь ответим на вопрос о сумме и произведении корней:

Сумма корней уравнения равна: \(x_1 + x_2 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2} + \frac{3 - \sqrt{37}}{2} = \frac{6}{2} = 3\).

Произведение корней уравнения равно: \(x_1 \cdot x_2 = \left(\frac{3 + \sqrt{37}}{2}\right) \cdot \left(\frac{3 - \sqrt{37}}{2}\right) = \frac{9 - 37}{4} = \frac{-28}{4} = -7\).

Таким образом, сумма корней уравнения равна 3, а их произведение равно -7.