Variant 3. 1. Find the value of the expression: a) √125 ∙ 512 - √216 3; b) 0.9a56 ÷ 3a13 when a = 16; c) (√2 )log√25 ∙ log327; d) log575 + log5(25)−1. 2. Determine sin α, given that cos α = 45 and 32 < < 2. 3. Calculate: cos^2 75˚ - sin^2 75˚. 4. Solve the equation: a) (132)0.1x−1 = 16; b) log0.4(6−x) =−1; c) log4(-2) + log12(x−2) = 12; d) √3−2x = 6 + x. Find the smallest positive root in degrees. 5. Solve the inequality: a) lg2 x - 2lg x > 3; b) (12)x+ (12)x−2 > 5; c) (x+1)(x+3)2 x+4 ≤ 0.
Вулкан
1. а) Найдём значение выражения:
\[\sqrt{125} \cdot 512 - \sqrt{216}^3\]
Сначала рассчитаем значения корней:
\[\sqrt{125} = 5\]
\[\sqrt{216} = 6\]
Теперь можем рассчитать выражение:
\[5 \cdot 512 - 6^3 = 2560 - 216 = 2344\]
Ответ: 2344.
б) Для этого пункта у нас дано, что \(a = 16\). Подставляем значение:
\[0.9 \cdot 16^6 \div 3 \cdot 16^{13}\]
\[\Rightarrow 0.9 \cdot 16^{6-13} \div 3\]
\[\Rightarrow 0.9 \cdot 16^{-7} \div 3\]
\[\Rightarrow \frac{0.9}{3 \cdot 16^7} = \frac{0.9}{3 \cdot 2^{28}}\]
\[\Rightarrow \frac{0.9}{3 \cdot 2^{4 \cdot 7}} = \frac{0.9}{3 \cdot 2^{28}}\]
Воспользуемся свойством \(2^{4 \cdot 7} = 2^{28}\), деля сокращаем числитель и знаменатель:
\[\frac{0.9}{3} \cdot \frac{1}{2^{28}} = \frac{0.3}{2^{28}}\]
Ответ: \(\frac{0.3}{2^{28}}\).
в) Рассмотрим данное выражение:
\[(\sqrt{2}) \log_{\sqrt{25}} \cdot \log_{327}\]
Перезапишем логарифмы в виде десятичных логарифмов:
\[\log_{\sqrt{25}} = \frac{1}{2}\log_{25}\]
\[\log_{327} = \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
Теперь подставляем значения:
\[(\sqrt{2})^{\frac{1}{2} \log_{25}} \cdot \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
\[(\sqrt{2})^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
\[\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
\[\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\log_{81}256}\]
Перезапишем логарифм:
\[\log_{81}256 = \frac{1}{2} \log_{3^4}2^8\]
\[\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \log_{3^4}2^8}\]
Теперь сокращаем:
\[\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\log_{3^4}2^8}\]
\[\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}\]
Ответ: \(2\sqrt{2}\).
г) Для данного пункта необходимо применить свойства логарифмов:
\[\log575 + \log5(25)^{-1}\]
Перепишем в виде суммы логарифмов:
\[\log575 + \log5 - \log25\]
Мы знаем, что:
\[\log575 = \log5 \cdot 5^2\]
\[\log25 = \log5 \cdot 5^1\]
Теперь подставим значения:
\[\log5 \cdot 5^2 + \log5 - \log5 \cdot 5^1\]
\[\log5 \cdot 25 + \log5 - \log5 \cdot 5\]
Теперь сокращаем:
\[\log5 \cdot 25 - \log5 \cdot 5\]
Воспользуемся свойством \(\log{a^n} = n \log{a}\) и вынесем общий множитель \(\log5\):
\[\log5 (25 - 5)\]
\[\log5 \cdot 20\]
Ответ: \(\log5 \cdot 20\).
2. Найдём значение sin α, если cos α = 45 и 32 < α < 90.
Дано: cos α = 45
Мы знаем, что sin^2 α + cos^2 α = 1. Подставим значение cos α:
sin^2 α + 45^2 = 1
sin^2 α + 2025 = 1
sin^2 α = 1 - 2025
sin α = √(-2024)
Ответ: sin α = √(-2024)
3. Найдём значение выражения cos^2 75˚ - sin^2 75˚.
Нам известно, что cos^2 α - sin^2 α = cos 2α.
Подставим α = 75˚:
cos^2 75˚ - sin^2 75˚ = cos 2 * 75˚
cos^2 75˚ - sin^2 75˚ = cos 150˚
Мы знаем, что cos (α + β) = cos α * cos β - sin α * sin β.
Воспользуемся этим свойством:
cos 150˚ = cos (90˚ + 60˚) = cos 90˚ * cos 60˚ - sin 90˚ * sin 60˚
Мы знаем, что cos 90˚ = 0 и sin 90˚ = 1.
Подставим значения:
cos 90˚ * cos 60˚ - sin 90˚ * sin 60˚
0 * cos 60˚ - 1 * sin 60˚
-sin 60˚
-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).
4. Решим уравнения:
а) (132)0.1x−1 = 16
Для начала возведём основание 132 в степень \(\frac{1}{10}\):
132^0.1 = 2
Подставим полученное значение:
2x−1 = 16
Теперь выразим x:
2x = 16 + 1
2x = 17
x = \(\frac{17}{2}\)
Ответ: x = \(\frac{17}{2}\).
б) log0.4(6−x) =−1
Перепишем уравнение в эквивалентной форме:
0.4^−1 = 6 − x
Упростим:
\(\frac{1}{0.4} = 6 − x\)
\(\frac{1}{0.4} = 6 − x\)
2.5 = 6 − x
Выразим x:
x = 6 − 2.5
x = 3.5
Ответ: x = 3.5.
в) log4(-2) + log12(x−2) = 12
Так как аргумент логарифма не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет решений.
г) √3−2x = 6 + x
Перепишем уравнение в виде:
√3 - 6 = 3x + 2x
Упростим:
-3 = 5x
Выразим x:
x = \(\frac{-3}{5}\)
Ответ: x = \(\frac{-3}{5}\).
5. Решим неравенства:
а) lg2 x - 2lg x > 3
Раскроем логарифмы и упростим неравенство:
\(\frac{log x}{log 2} - \frac{2 log x}{log 10} > 3\)
\(\frac{log x}{log 2} - \frac{2 log x}{1} > 3\)
log x - 2 log x > 3 log 2
log x - 2 log x > log 2^3
-log x > log 8
Изменим направление неравенства и знак:
log x < -log 8
x < 10^(-log 8)
x < \(\frac{1}{8}\)
Ответ: x < \(\frac{1}{8}\)
б) (12)^x + (12)^(x−2) > 5
Выполним раскрытие скобок и упростим неравенство:
12^x + 12^(x-2) > 5
12^x + \(\frac{12^x}{12^2}\) > 5
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{12^x(12^2) + 12^x}{12^2}>5\)
\(\frac{12^x(12^2 + 1)}{(12^2)}>5\)
12^x(144 + 1) > 5 * (12^2)
12^x(145) > 60^2
12^x > \(\frac{60^2}{145}\)
12^x > 24.9648275862
Применяя логарифм по основанию 12, получаем:
x > log12 24.9648275862
Ответ: x > log12 24.9648275862
в) (x+1)(x+3)2 x+4
\((x+1)(x+3)^2 > x+4\)
\((x+1)(x^2+6x+9) > x+4\)
Раскроем скобки:
\(x^3+7x^2+16x+9 > x+4\)
Перепишем уравнение в виде:
\(x^3+7x^2+16x-x+9-4 > 0\)
Упростим выражение:
\(x^3+7x^2+15x+5 > 0\)
Ответ: \(x^3+7x^2+15x+5 > 0\)
\[\sqrt{125} \cdot 512 - \sqrt{216}^3\]
Сначала рассчитаем значения корней:
\[\sqrt{125} = 5\]
\[\sqrt{216} = 6\]
Теперь можем рассчитать выражение:
\[5 \cdot 512 - 6^3 = 2560 - 216 = 2344\]
Ответ: 2344.
б) Для этого пункта у нас дано, что \(a = 16\). Подставляем значение:
\[0.9 \cdot 16^6 \div 3 \cdot 16^{13}\]
\[\Rightarrow 0.9 \cdot 16^{6-13} \div 3\]
\[\Rightarrow 0.9 \cdot 16^{-7} \div 3\]
\[\Rightarrow \frac{0.9}{3 \cdot 16^7} = \frac{0.9}{3 \cdot 2^{28}}\]
\[\Rightarrow \frac{0.9}{3 \cdot 2^{4 \cdot 7}} = \frac{0.9}{3 \cdot 2^{28}}\]
Воспользуемся свойством \(2^{4 \cdot 7} = 2^{28}\), деля сокращаем числитель и знаменатель:
\[\frac{0.9}{3} \cdot \frac{1}{2^{28}} = \frac{0.3}{2^{28}}\]
Ответ: \(\frac{0.3}{2^{28}}\).
в) Рассмотрим данное выражение:
\[(\sqrt{2}) \log_{\sqrt{25}} \cdot \log_{327}\]
Перезапишем логарифмы в виде десятичных логарифмов:
\[\log_{\sqrt{25}} = \frac{1}{2}\log_{25}\]
\[\log_{327} = \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
Теперь подставляем значения:
\[(\sqrt{2})^{\frac{1}{2} \log_{25}} \cdot \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
\[(\sqrt{2})^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
\[\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\log_{3^4}2^8}\]
\[\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\log_{81}256}\]
Перезапишем логарифм:
\[\log_{81}256 = \frac{1}{2} \log_{3^4}2^8\]
\[\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2} \log_{3^4}2^8}\]
Теперь сокращаем:
\[\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\log_{3^4}2^8}\]
\[\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}\]
Ответ: \(2\sqrt{2}\).
г) Для данного пункта необходимо применить свойства логарифмов:
\[\log575 + \log5(25)^{-1}\]
Перепишем в виде суммы логарифмов:
\[\log575 + \log5 - \log25\]
Мы знаем, что:
\[\log575 = \log5 \cdot 5^2\]
\[\log25 = \log5 \cdot 5^1\]
Теперь подставим значения:
\[\log5 \cdot 5^2 + \log5 - \log5 \cdot 5^1\]
\[\log5 \cdot 25 + \log5 - \log5 \cdot 5\]
Теперь сокращаем:
\[\log5 \cdot 25 - \log5 \cdot 5\]
Воспользуемся свойством \(\log{a^n} = n \log{a}\) и вынесем общий множитель \(\log5\):
\[\log5 (25 - 5)\]
\[\log5 \cdot 20\]
Ответ: \(\log5 \cdot 20\).
2. Найдём значение sin α, если cos α = 45 и 32 < α < 90.
Дано: cos α = 45
Мы знаем, что sin^2 α + cos^2 α = 1. Подставим значение cos α:
sin^2 α + 45^2 = 1
sin^2 α + 2025 = 1
sin^2 α = 1 - 2025
sin α = √(-2024)
Ответ: sin α = √(-2024)
3. Найдём значение выражения cos^2 75˚ - sin^2 75˚.
Нам известно, что cos^2 α - sin^2 α = cos 2α.
Подставим α = 75˚:
cos^2 75˚ - sin^2 75˚ = cos 2 * 75˚
cos^2 75˚ - sin^2 75˚ = cos 150˚
Мы знаем, что cos (α + β) = cos α * cos β - sin α * sin β.
Воспользуемся этим свойством:
cos 150˚ = cos (90˚ + 60˚) = cos 90˚ * cos 60˚ - sin 90˚ * sin 60˚
Мы знаем, что cos 90˚ = 0 и sin 90˚ = 1.
Подставим значения:
cos 90˚ * cos 60˚ - sin 90˚ * sin 60˚
0 * cos 60˚ - 1 * sin 60˚
-sin 60˚
-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Ответ: \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\).
4. Решим уравнения:
а) (132)0.1x−1 = 16
Для начала возведём основание 132 в степень \(\frac{1}{10}\):
132^0.1 = 2
Подставим полученное значение:
2x−1 = 16
Теперь выразим x:
2x = 16 + 1
2x = 17
x = \(\frac{17}{2}\)
Ответ: x = \(\frac{17}{2}\).
б) log0.4(6−x) =−1
Перепишем уравнение в эквивалентной форме:
0.4^−1 = 6 − x
Упростим:
\(\frac{1}{0.4} = 6 − x\)
\(\frac{1}{0.4} = 6 − x\)
2.5 = 6 − x
Выразим x:
x = 6 − 2.5
x = 3.5
Ответ: x = 3.5.
в) log4(-2) + log12(x−2) = 12
Так как аргумент логарифма не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: уравнение не имеет решений.
г) √3−2x = 6 + x
Перепишем уравнение в виде:
√3 - 6 = 3x + 2x
Упростим:
-3 = 5x
Выразим x:
x = \(\frac{-3}{5}\)
Ответ: x = \(\frac{-3}{5}\).
5. Решим неравенства:
а) lg2 x - 2lg x > 3
Раскроем логарифмы и упростим неравенство:
\(\frac{log x}{log 2} - \frac{2 log x}{log 10} > 3\)
\(\frac{log x}{log 2} - \frac{2 log x}{1} > 3\)
log x - 2 log x > 3 log 2
log x - 2 log x > log 2^3
-log x > log 8
Изменим направление неравенства и знак:
log x < -log 8
x < 10^(-log 8)
x < \(\frac{1}{8}\)
Ответ: x < \(\frac{1}{8}\)
б) (12)^x + (12)^(x−2) > 5
Выполним раскрытие скобок и упростим неравенство:
12^x + 12^(x-2) > 5
12^x + \(\frac{12^x}{12^2}\) > 5
Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{12^x(12^2) + 12^x}{12^2}>5\)
\(\frac{12^x(12^2 + 1)}{(12^2)}>5\)
12^x(144 + 1) > 5 * (12^2)
12^x(145) > 60^2
12^x > \(\frac{60^2}{145}\)
12^x > 24.9648275862
Применяя логарифм по основанию 12, получаем:
x > log12 24.9648275862
Ответ: x > log12 24.9648275862
в) (x+1)(x+3)2 x+4
\((x+1)(x+3)^2 > x+4\)
\((x+1)(x^2+6x+9) > x+4\)
Раскроем скобки:
\(x^3+7x^2+16x+9 > x+4\)
Перепишем уравнение в виде:
\(x^3+7x^2+16x-x+9-4 > 0\)
Упростим выражение:
\(x^3+7x^2+15x+5 > 0\)
Ответ: \(x^3+7x^2+15x+5 > 0\)
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
