Variant 3. 1. Find the value of the expression: a) √125 ∙ 512 - √216 3; b) 0.9a56 ÷ 3a13 when a = 16; c) (√2 )log√25

1. а) Найдём значение выражения:

$$\sqrt{125}\cdot 512-{\sqrt{216}}^3$$

Сначала рассчитаем значения корней:

$$\sqrt{125}=5$$
$$\sqrt{216}=6$$
Теперь можем рассчитать выражение:

$$5\cdot 512-6^3=2560-216=2344$$

Ответ: 2344.

б) Для этого пункта у нас дано, что $a=16$. Подставляем значение:

$$0.9\cdot {16}^6÷3\cdot {16}^{13}$$

$$\Rightarrow 0.9\cdot {16}^{6-13}÷3$$

$$\Rightarrow 0.9\cdot {16}^{-7}÷3$$

$$\Rightarrow \frac{0.9}{3\cdot {16}^7}=\frac{0.9}{3\cdot 2^{28}}$$

$$\Rightarrow \frac{0.9}{3\cdot 2^{4\cdot 7}}=\frac{0.9}{3\cdot 2^{28}}$$

Воспользуемся свойством $2^{4\cdot 7}=2^{28}$, деля сокращаем числитель и знаменатель:

$$\frac{0.9}{3}\cdot \frac{1}{2^{28}}=\frac{0.3}{2^{28}}$$

Ответ: $\frac{0.3}{2^{28}}$.

в) Рассмотрим данное выражение:

$$(\sqrt{2}){\log }_{\sqrt{25}}\cdot {\log }_{327}$$

Перезапишем логарифмы в виде десятичных логарифмов:

$${\log }_{\sqrt{25}}=\frac{1}{2}{\log }_{25}$$
$${\log }_{327}=\frac{1}{{\log }_{3^4}{2}^8}$$

Теперь подставляем значения:

$$(\sqrt{2}{)}^{\frac{1}{2}{\log }_{25}}\cdot \frac{1}{{\log }_{3^4}{2}^8}$$

$$(\sqrt{2}{)}^{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{{\log }_{3^4}{2}^8}$$

$$\sqrt{2}\cdot \frac{1}{{\log }_{3^4}{2}^8}$$

$$\sqrt{2}\cdot \frac{1}{{\log }_{81}256}$$

Перезапишем логарифм:

$${\log }_{81}256=\frac{1}{2}{\log }_{3^4}{2}^8$$

$$\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\frac{1}{2}{\log }_{3^4}{2}^8}$$

Теперь сокращаем:

$$\sqrt{2}\cdot \frac{2}{{\log }_{3^4}{2}^8}$$

$$\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}$$

Ответ: $2\sqrt{2}$.

г) Для данного пункта необходимо применить свойства логарифмов:

$$\log 575+\log 5(25{)}^{-1}$$

Перепишем в виде суммы логарифмов:

$$\log 575+\log 5-\log 25$$

Мы знаем, что:
$$\log 575=\log 5\cdot 5^2$$
$$\log 25=\log 5\cdot 5^1$$

Теперь подставим значения:
$$\log 5\cdot 5^2+\log 5-\log 5\cdot 5^1$$

$$\log 5\cdot 25+\log 5-\log 5\cdot 5$$

Теперь сокращаем:
$$\log 5\cdot 25-\log 5\cdot 5$$

Воспользуемся свойством $\log a^n=n\log a$ и вынесем общий множитель $\log 5$:
$$\log 5(25-5)$$

$$\log 5\cdot 20$$

Ответ: $\log 5\cdot 20$.

2. Найдём значение sin α, если cos α = 45 и 32 < α < 90.

Дано: cos α = 45

Мы знаем, что sin^2 α + cos^2 α = 1. Подставим значение cos α:
sin^2 α + 45^2 = 1
sin^2 α + 2025 = 1
sin^2 α = 1 - 2025
sin α = √(-2024)

Ответ: sin α = √(-2024)

3. Найдём значение выражения cos^2 75˚ - sin^2 75˚.

Нам известно, что cos^2 α - sin^2 α = cos 2α.
Подставим α = 75˚:
cos^2 75˚ - sin^2 75˚ = cos 2 * 75˚
cos^2 75˚ - sin^2 75˚ = cos 150˚

Мы знаем, что cos (α + β) = cos α * cos β - sin α * sin β.
Воспользуемся этим свойством:
cos 150˚ = cos (90˚ + 60˚) = cos 90˚ * cos 60˚ - sin 90˚ * sin 60˚

Мы знаем, что cos 90˚ = 0 и sin 90˚ = 1.
Подставим значения:
cos 90˚ * cos 60˚ - sin 90˚ * sin 60˚
0 * cos 60˚ - 1 * sin 60˚
-sin 60˚
-$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Решим уравнения:

а) (132)0.1x−1 = 16

Для начала возведём основание 132 в степень $\frac{1}{10}$:
132^0.1 = 2

Подставим полученное значение:
2x−1 = 16

Теперь выразим x:
2x = 16 + 1
2x = 17
x = $\frac{17}{2}$

Ответ: x = $\frac{17}{2}$.

б) log0.4(6−x) =−1

Перепишем уравнение в эквивалентной форме:
0.4^−1 = 6 − x

Упростим:
$\frac{1}{0.4}=6-x$

$\frac{1}{0.4}=6-x$

2.5 = 6 − x

Выразим x:
x = 6 − 2.5
x = 3.5

Ответ: x = 3.5.

в) log4(-2) + log12(x−2) = 12

Так как аргумент логарифма не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет решений.

г) √3−2x = 6 + x

Перепишем уравнение в виде:
√3 - 6 = 3x + 2x

Упростим:
-3 = 5x

Выразим x:
x = $\frac{-3}{5}$

Ответ: x = $\frac{-3}{5}$.

5. Решим неравенства:

а) lg2 x - 2lg x > 3

Раскроем логарифмы и упростим неравенство:
$\frac{logx}{log2}-\frac{2logx}{log10}>3$

$\frac{logx}{log2}-\frac{2logx}{1}>3$

log x - 2 log x > 3 log 2

log x - 2 log x > log 2^3

-log x > log 8

Изменим направление неравенства и знак:
log x < -log 8

x < 10^(-log 8)

x < $\frac{1}{8}$

Ответ: x < $\frac{1}{8}$

б) (12)^x + (12)^(x−2) > 5

Выполним раскрытие скобок и упростим неравенство:
12^x + 12^(x-2) > 5

12^x + $\frac{{12}^x}{{12}^2}$ > 5

Приведём к общему знаменателю:
$\frac{{12}^x({12}^2)+{12}^x}{{12}^2}>5$

$\frac{{12}^x({12}^2+1)}{({12}^2)}>5$

12^x(144 + 1) > 5 * (12^2)

12^x(145) > 60^2

12^x > $\frac{{60}^2}{145}$

12^x > 24.9648275862

Применяя логарифм по основанию 12, получаем:
x > log12 24.9648275862

Ответ: x > log12 24.9648275862

в) (x+1)(x+3)2 x+4

$(x+1)(x+3{)}^2>x+4$

$(x+1)(x^2+6x+9)>x+4$

Раскроем скобки:
$x^3+7x^2+16x+9>x+4$

Перепишем уравнение в виде:
$x^3+7x^2+16x-x+9-4>0$

Упростим выражение:
$x^3+7x^2+15x+5>0$

Ответ: $x^3+7x^2+15x+5>0$