Если известно, что cosα равен -0.8 и α находится между π/2 и π, то каковы значения следующих тригонометрических

Дано: \( \cos\alpha = -0.8 \) и \( \alpha \) находится между \( \frac{\pi}{2} \) и \( \pi \).

Для решения этой задачи, мы можем использовать тригонометрические тождества и связи между тригонометрическими функциями.

Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди:

1) \( \text{ctg}(2\alpha) \):
Пользуясь формулой \( \text{ctg}(2\alpha) = \frac{1}{\tan(2\alpha)} \), можем найти \( \tan(2\alpha) \).

Используя идентичность \( \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \), найдем \( \tan\alpha \).

Так как \( \cos\alpha = -0.8 \), мы можем использовать идентичность \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \).

\( \sin\alpha = \sqrt{1-(\cos\alpha)^2} = \sqrt{1-(-0.8)^2} = \sqrt{1-0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6 \)

После подстановки в формулу, мы получим:

\[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{0.6}{-0.8} = -0.75 \]

Теперь можем найти \( \tan(2\alpha) \):

\[ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} = \frac{2\times(-0.75)}{1-(-0.75)^2} = -3 \]

Наконец, используя \( \text{ctg}(2\alpha) = \frac{1}{\tan(2\alpha)} \), получим:

\[ \text{ctg}(2\alpha) = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \]

2) \( \text{tg}(2\alpha) \):
Мы уже вычислили \( \tan(2\alpha) = -3 \), поэтому ответ просто будет:

\[ \text{tg}(2\alpha) = -3 \]

3) \( \text{ctg}\alpha \):
Похожим образом, можем использовать \( \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \):

\[ \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{1}{-0.75} = -\frac{4}{3} \]

4) \( \cos(2\alpha) \):
Пользуясь формулой \( \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \), найдем \( \cos^2\alpha \) и \( \sin^2\alpha \):

\( \cos^2\alpha = (-0.8)^2 = 0.64 \)

\( \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - 0.64 = 0.36 \)

Подставив значения, получаем:

\[ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 0.64 - 0.36 = 0.28 \]

5) \( \text{tg}\alpha \):
Мы уже вычислили \( \tan\alpha = -0.75 \), поэтому ответ будет:

\[ \text{tg}\alpha = -0.75 \]

6) \( \sin\alpha \):
Мы уже вычислили \( \sin\alpha = 0.6 \), поэтому ответ просто будет:

\[ \sin\alpha = 0.6 \]

7) \( \sin(2\alpha) \):
Мы уже вычислили \( \sin^2\alpha = 0.36 \), поэтому можно использовать формулу \( \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha \):

\[ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2\times0.6\times(-0.8) = -0.96 \]

Итак, ответы:

\( \text{ctg}(2\alpha) = -\frac{1}{3} \)

\( \text{tg}(2\alpha) = -3 \)

\( \text{ctg}\alpha = -\frac{4}{3} \)

\( \cos(2\alpha) = 0.28 \)

\( \text{tg}\alpha = -0.75 \)

\( \sin\alpha = 0.6 \)

\( \sin(2\alpha) = -0.96 \)