В2. Тетраэдр ABCD имеет перпендикулярное ребро BC к плоскости ABD, BC = 12. В треугольнике ABD имеем ZB = 90°

Для решения этой задачи нам понадобится использовать несколько геометрических свойств и формул.

Дано:
Тетраэдр ABCD с перпендикулярным ребром BC к плоскости ABD, BC = 12.
Треугольник ABD с ZB = 90°, ZA = 30°, AD = 14.

а) Утверждение: Плоскость BCD перпендикулярна плоскости ABD?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим угол между плоскостями BCD и ABD. Если этот угол равен 90°, то плоскости будут перпендикулярны.

Известно, что ребро BC перпендикулярно плоскости ABD, поэтому ZBC = 90°. Также из задачи известно, что ZB = 90°. Значит, угол BZC = ZBC - ZB = 90° - 90° = 0°.

Таким образом, угол между плоскостями BCD и ABD равен 0°.
Ответ: а) утверждение верно.

б) Утверждение: Расстояние от точки D до плоскости ABC равно 7?

Чтобы вычислить расстояние от точки D до плоскости ABC, воспользуемся формулой расстояния от точки до плоскости:

\[d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}\]

где (A, B, C) - нормальный вектор плоскости, (x, y, z) - координаты точки D, а D - коэффициент в уравнении плоскости.

В данном случае уравнение плоскости ABC можно выразить через точку A и два вектора AB и AC, используя векторное произведение:

\[(x - A_x, y - A_y, z - A_z) \cdot (B - A) \times (C - A) = 0\]

В данной задаче для вычисления расстояния от точки D до плоскости ABC требуется провести дополнительные вычисления, которые превышают возможности Учитель.

Ответ: б) невозможно вычислить только по условию.

в) Утверждение: Расстояние от точки А до прямой CD равно 14?

Чтобы вычислить расстояние от точки А до прямой CD, воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой:

\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

где (A, B, C) - коэффициенты уравнения прямой, (x, y) - координаты точки A.

В данной задаче нам необходимо выразить уравнение прямой CD.

Так как плоскость ABD перпендикулярна ребру BC, то она также перпендикулярна плоскости BCD. Таким образом, угол между плоскостями ABD и CBD также равен 0°.

Это значит, что прямая CD лежит в плоскости ABD.

Уравнение прямой CD можно получить путем нахождения координаты точки D и направляющего вектора прямой, который можно получить с помощью векторного произведения:

\[CD = B - A = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)\].

Таким образом, уравнение прямой CD имеет вид:

\[(x - A_x, y - A_y, z - A_z) = t(B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)\]

где t - параметр.

Подставим координаты точки A в это уравнение:

\[(x - A_x, y - A_y, z - A_z) = t(B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)\]

Поскольку расстояние от точки А до прямой CD равно расстоянию от точки А до любой точки на прямой, то расстояние от точки А до прямой CD равно \(\sqrt{{(x-A_x)^2 + (y-A_y)^2 + (z-A_z)^2}}\).

Ответ: в) невозможно вычислить только по условию.

г) Утверждение: Тангенс угла между плоскостью ABD и плоскостью CBD равен?

Чтобы найти тангенс угла между плоскостями ABD и CBD, нам необходимо знать нормальные векторы этих плоскостей и использовать формулу:

\[ \tan{\alpha} = \frac{{\text{{проекция одного нормального вектора на другой}}}}{{\text{{скалярное произведение нормальных векторов}}}} \]

Так как нам не даны нормальные векторы плоскостей ABD и CBD, мы не можем вычислить тангенс угла между ними.

Ответ: г) невозможно вычислить только по условию.