Каковы длины диагоналей параллелограмма и его площадь, если его смежные стороны равны 7 см и 8 см, а угол между ними

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая позволяет нам найти длину диагонали параллелограмма, зная длины его сторон и угол между ними.

Давайте обозначим стороны параллелограмма следующим образом: сторона \(a = 7\) см, сторона \(b = 8\) см и угол \(\theta = 60\) градусов.

Согласно теореме косинусов, квадрат диагонали параллелограмма (пусть его длина равна \(d\)) можно найти по формуле:

\[d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)\]

Подставим значения в эту формулу:

\[d^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)\]

Для вычисления косинуса 60 градусов нам понадобится таблица или калькулятор, и мы узнаем, что \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\).

Теперь продолжим вычисления:

\[d^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}\]
\[d^2 = 113 - 56\]
\[d^2 = 57\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти длину диагонали:

\[d = \sqrt{57}\]

Длина диагонали параллелограмма составляет примерно 7.55 см.

Теперь перейдем к нахождению площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Мы знаем, что одна сторона равна 8 см, а высота параллелограмма может быть найдена, используя формулу:

\[h = b \cdot \sin(\theta)\]

Подставим значения и рассчитаем высоту:

\[h = 8 \cdot \sin(60^\circ)\]

Опять же, для нахождения синуса 60 градусов нам понадобится таблица или калькулятор. В данном случае \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Продолжим вычисления:

\[h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Умножим и упростим:

\[h = 4\sqrt{3}\]

Теперь, зная длину одной стороны (8 см) и высоту (4\sqrt{3} см), мы можем найти площадь параллелограмма, умножив эти значения:

\[S = a \cdot h\]
\[S = 8 \cdot 4\sqrt{3}\]

Умножим и упростим:

\[S = 32\sqrt{3}\]

Получается, площадь параллелограмма равна \(32\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.

Итак, длина диагонали параллелограмма составляет примерно 7.55 см, а его площадь равна \(32\sqrt{3}\) квадратных сантиметра.