1. What are the internal angles formed when two parallel lines are intersected by a transversal, if their ratio

1. Когда две параллельные линии пересекаются трансверсалью, образуются несколько углов. В данной задаче говорится, что их соотношение составляет 11:19. Предположим, что угол образован двумя параллельными линиями и трансверсалью равен \(x\). Тогда другой угол образуется также двумя параллельными линиями и трансверсалью и равен \(\frac{11}{19}x\).

Таким образом, мы имеем два угла внутри треугольника, сумма которых равна \(x + \frac{11}{19}x\). Эта сумма должна составлять 180 градусов, так как это сумма углов треугольника.

\[
x + \frac{11}{19}x = 180
\]

Чтобы решить это уравнение, найдем общий знаменатель:

\[
\frac{19}{19}x + \frac{11}{19}x = 180
\]

Суммируем числители:

\[
\frac{30}{19}x = 180
\]

Теперь разделим обе части уравнения на \(\frac{30}{19}\):

\[
x = \frac{180}{\frac{30}{19}} = 114
\]

Таким образом, угол, образованный двумя параллельными линиями и трансверсалью, равен 114 градусов.

2. Зная, что угол BMN равен 75 градусов, и что угол MND - тупой (т.е. больше 90 градусов), мы можем использовать свойство, что сумма углов, образованных параллельными линиями и трансверсалью, составляет 180 градусов.

Предположим, что угол MND равен \(x\). Таким образом, угол BNM равен 180 - 75 - \(x\) (сумма углов треугольника).

Учитывая, что угол BNM и угол MND являются вертикальными углами (т.е. равными), они должны быть равны между собой.

\[
180 - 75 - x = x
\]

Чтобы решить это уравнение, сначала найдем разность 180 - 75:

\[
105 - x = x
\]

Теперь сложим обе части уравнения:

\[
105 = 2x
\]

Разделим обе части на 2:

\[
x = 52.5
\]

Таким образом, угол MND будет равен 52.5 градусов.

3. Для решения этой задачи, нам нужно использовать свойство биссектрисы угла. Согласно этому свойству, биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные остальным двум сторонам треугольника.

Пусть AC равно \(x\). Тогда AB будет равно 2x, так как это отрезок, делящийся биссектрисой в отношении 1:2.

Используя данную информацию, мы можем создать уравнение:

\[
\frac{2x}{x} = \frac{AB}{AC}
\]

Упрощая, получим:

\[
2 = \frac{AB}{AC}
\]

Таким образом, мы видим, что отношение длины сторон AB и AC равно 2:1. Следовательно, ответом будет AC = 1.

4. В задаче не указан конкретный угол, но мы можем обозначить его как \(x\).

Поскольку внутренний угол треугольника равен сумме двух других углов, мы можем записать уравнение:

\[
x + 2x = 180
\]

Упрощая, получим:

\[
3x = 180
\]

Теперь разделим обе части уравнения на 3:

\[
x = 60
\]

Таким образом, внутренний угол равен 60 градусов.

Учтите, что предположение о равномерном распределении углов в треугольнике может не всегда быть верным в реальных задачах, но в данном случае мы предполагаем, что треугольник равносторонний.