У меня есть задачи по геометрии, и все они чётные

Конечно! Я буду рад помочь вам с геометрическими задачами. Давайте начнем с первой задачи.

Задача: В треугольнике ABC проведена медиана AM. Найдите отношение площади треугольника ACM к площади треугольника ABC.

Обоснование: Для решения этой задачи мы можем воспользоваться соотношением, согласно которому площадь треугольника, образованного медианой и его основанием, равна половине площади исходного треугольника.

Решение:

1. Вспомним, что медиана треугольника делит его основание пополам. Обозначим точку, в которой медиана AM пересекает сторону BC, как точку D. То есть, BD = CD.

2. Проведем высоту BH из вершины B до основания AC. Заметим, что так как AM является медианой, то точка H будет серединой стороны AC.

3. Так как AM является медианой, то BM = MC, и также AM делит треугольник ABC на две равные фигуры — треугольники ABM и ACM.

4. Отношение площади треугольника ACM к площади треугольника ABC будет равно отношению площади треугольника ACM к сумме площадей треугольников ABM и ACM.

5. Поскольку точка H является серединой стороны AC и BH является высотой треугольника ABC, площадь треугольника ABM будет равна площади треугольника BCM.

6. Таким образом, мы можем записать отношение площадей треугольников ACM и ABC следующим образом:

\[\frac{{S_{ACM}}}{{S_{ABC}}} = \frac{{S_{ACM}}}{{S_{ABM} + S_{ACM}}} = \frac{{S_{ACM}}}{{2 \cdot S_{ACM}}} = \frac{1}{2}\]

Ответ: Отношение площади треугольника ACM к площади треугольника ABC равно \(\frac{1}{2}\).