Тест № 6. Квадратный трехчлен. Решение уравнений, которые можно сократить до квадратных уравнений. Решение задач

Конечно, я могу помочь вам с задачей о квадратном трехчлене, решением уравнений, которые можно сократить до квадратных уравнений и решением задач с помощью рациональных уравнений. Давайте начнем с теста №6.

Тест №6:
1. Чему равен коэффициент при \(x\) в следующем квадратном трехчлене: \(3x^2 - 4x + 2\)?
Ответ: Коэффициент при \(x\) равен -4.

2. Найдите дискриминант в уравнении \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) и определите, есть ли у него решения.
Решение:
Дискриминант (\(D\)) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.
В данном случае, \(a = 2\), \(b = -7\) и \(c = 3\).
Подставим значения в формулу:
\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\)
Дискриминант равен 25. Поскольку дискриминант положительный, у уравнения есть два различных решения.

3. Решите уравнение \(5x^2 + 2x - 3 = 0\) с использованием квадратного трехчлена.
Решение:
Сначала определим коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В данном уравнении, \(a = 5\), \(b = 2\) и \(c = -3\).
Затем, воспользуемся формулой решения квадратного уравнения: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D\) - дискриминант.
Подставим значения:
\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3)}}{2 \cdot 5}\)
\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{10}\)
\(x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{10}\)
\(x = \frac{-2 \pm 8}{10}\)
Сократим дробь:
\(x = \frac{6}{10}\) или \(x = \frac{-10}{10}\)
\(x = \frac{3}{5}\) или \(x = -1\)
Таким образом, уравнение \(5x^2 + 2x - 3 = 0\) имеет два решения: \(x = \frac{3}{5}\) и \(x = -1\).

Теперь перейдем к задачам, которые можно решить с помощью рациональных уравнений.

Задача 1:
У Васи есть два числа, одно из них в 4 раза больше другого. Если увеличить первое число на 6, а второе уменьшить на 3, то они станут равными. Найдите числа.
Решение:
Пусть первое число будет \(x\), а второе будет \(y\).
Из условия задачи имеем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x = 4y \\
x + 6 = y - 3
\end{cases}
\]
Воспользуемся методом рациональных уравнений для решения этой системы.
Из первого уравнения:
\(x - 4y = 0\) (1)
Из второго уравнения:
\(x - y = -9\) (2)

Вычтем (2) из (1):
\((x - 4y) - (x - y) = 0 - (-9)\)
\(x - 4y - x + y = 9\)
\(-3y = 9\)
\(y = -3\)

Подставим значение \(y\) в первое уравнение:
\(x = 4 \cdot (-3)\)
\(x = -12\)

Таким образом, первое число равно -12, а второе число равно -3.

Это был подробный ответ с пошаговым решением задачи о квадратном трехчлене и рациональных уравнений. Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими заданиями, пожалуйста, сообщите!