Существует ли угол альфа, при котором выполняются следующие условия: синус угла равен 1/3, тангенс равен квадратному

Добро пожаловать! Давайте рассмотрим задачу. У нас есть два условия: синус угла равен $\frac{1}{3}$ и тангенс равен квадратному корню. Для решения этой задачи нам понадобится использовать определения синуса и тангенса.

Давайте сначала рассмотрим синус угла. Синус угла равен отношению противоположной стороны к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Мы можем записать это в виде уравнения:

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}}$$

У нас уже есть известное значение синуса: $\sin (\alpha )=\frac{1}{3}$. Заменим это значение в уравнении:

$$\frac{1}{3}=\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}}$$

Умножим обе стороны уравнения на гипотенузу, чтобы избавиться от знаменателя:

$$\text{противоположная сторона}=\frac{1}{3}\cdot \text{гипотенуза}$$

Теперь перейдем ко второму условию - тангенсу угла. Тангенс угла равен отношению противоположной стороны к прилежащей стороне в прямоугольном треугольнике:

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}$$

У нас есть известное значение тангенса: $\tan (\alpha )=\sqrt{2}$. Мы можем записать это в виде уравнения:

$$\sqrt{2}=\frac{\text{противоположная сторона}}{\text{прилежащая сторона}}$$

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными данными - противоположной стороной и гипотенузой. Мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значения этих неизвестных.

Для начала, заметим, что противоположная сторона в первом уравнении равна противоположей стороне во втором уравнении. Пусть это значение равно $x$:

$$\text{противоположная сторона}=x$$

Теперь мы можем переписать первое уравнение с использованием $x$:

$$x=\frac{1}{3}\cdot \text{гипотенуза}$$

Аналогично, мы можем переписать второе уравнение:

$$x=\sqrt{2}\cdot \text{прилежащая сторона}$$

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными - $x$ и гипотенузой. Чтобы решить эту систему уравнений, нам нужно соответствующим образом объединить эти уравнения.

Заметим, что у нас есть равенство $x$ с обеих сторон. Мы можем приравнять правые части уравнений:

$$\frac{1}{3}\cdot \text{гипотенуза}=\sqrt{2}\cdot \text{прилежащая сторона}$$

Теперь мы можем избавиться от неизвестной прилежащей стороны, поделив обе части на $\sqrt{2}$:

$$\frac{1}{3\sqrt{2}}\cdot \text{гипотенуза}=\text{прилежащая сторона}$$

Подставим это значение во второе уравнение:

$$x=\sqrt{2}\cdot (\frac{1}{3\sqrt{2}}\cdot \text{гипотенуза})$$

Упростим:

$$x=\frac{1}{3}\cdot \text{гипотенуза}$$

Теперь мы можем приравнять выражения $x$ с обеих сторон:

$$\frac{1}{3}\cdot \text{гипотенуза}=\frac{1}{3}\cdot \text{гипотенуза}$$

Это означает, что наше значение $x$ для противоположной стороны является произвольным и может быть любым числом. Таким образом, угол $\alpha$, который удовлетворяет обоим условиям, существует.

Вывод: Угол $\alpha$ существует, и его противоположная сторона равна $x$, где $x$ может быть любым числом.