Среди 11 акционеров, 3 имеют привилегированные акции. В настоящее время на собрание акционеров пришло 6 человек

Давайте решим эту задачу пошагово.

Задача: Среди 11 акционеров, 3 имеют привилегированные акции. В настоящее время на собрание акционеров пришло 6 человек. Определите вероятность следующего:

a) все трое акционеры с привилегированными акциями отсутствуют.
Чтобы найти вероятность этого события, нам нужно определить, сколько комбинаций из 6 акционеров могут прийти на собрание без привилегированных акций, и разделить это на общее количество комбинаций из 6 акционеров.

Количество комбинаций из 6 акционеров без привилегированных акций можно найти следующим образом:

\(C(8, 6)\), где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Теперь найдем это число:

\[
C(8, 6) = \frac{{8!}}{{6! \cdot (8-6)!}} = \frac{{8!}}{{6! \cdot 2!}} = \frac{{8 \cdot 7}}{{2}} = 28
\]

Теперь найдем общее количество комбинаций из 6 акционеров:

\(C(11, 6)\), где \(C(n, k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\).

Найдем это число:

\[
C(11, 6) = \frac{{11!}}{{6! \cdot (11-6)!}} = \frac{{11!}}{{6! \cdot 5!}} = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 462
\]

Теперь мы можем найти вероятность того, что все трое акционеры с привилегированными акциями отсутствуют:

\[
P(A) = \frac{{C(8, 6)}}{{C(11, 6)}} = \frac{{28}}{{462}} = \frac{{2}}{{33}}
\]

Ответ: а) Вероятность того, что все трое акционеры с привилегированными акциями отсутствуют, равна \(\frac{{2}}{{33}}\).

b) двое присутствуют и один не явился.

Здесь нам нужно найти количество комбинаций из двух акционеров с привилегированными акциями и одного акционера без привилегированных акций, и разделить его на общее количество комбинаций из 6 акционеров.

Количество комбинаций можно найти по аналогии с предыдущим пунктом:

Количество комбинаций из 2 акционеров с привилегированными акциями: \(C(3, 2) = 3\)

Количество комбинаций из 1 акционера без привилегированных акций: \(C(8, 1) = 8\)

Общее количество комбинаций из 6 акционеров: \(C(11, 6) = 462\)

Теперь мы можем найти вероятность того, что двое акционеров с привилегированными акциями присутствуют, а один акционер без привилегированных акций не явился:

\[
P(B) = \frac{{C(3, 2) \cdot C(8, 1)}}{{C(11, 6)}} = \frac{{3 \cdot 8}}{{462}} = \frac{{4}}{{77}}
\]

Ответ: b) Вероятность того, что двое акционеров с привилегированными акциями присутствуют, а один акционер без привилегированных акций не явился, равна \(\frac{{4}}{{77}}\).