1. Rebuild the graph of the function: 6) y= 3x + 2. a) Does the function increase (decrease) on the set of

1. Перестроим график функции \(y = 3x + 2\).

Для начала построим таблицу значений функции:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -4 \\
-1 & -1 \\
0 & 2 \\
1 & 5 \\
2 & 8 \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь отметим эти точки на координатной плоскости и проведем прямую, проходящую через них. Обозначим оси координат \(x\) и \(y\).

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-5, ymax=10,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={-4,-1,2,5,8},
scaled ticks=false,
]
\addplot [domain=-2:2, color=blue] {3*x + 2};
\addplot[only marks, mark=*] table {
-2 -4
-1 -1
0 2
1 5
2 8
};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь рассмотрим вопрос увеличения или уменьшения функции на множестве всех действительных чисел \(\mathbb{R}\). Функция \(y = 3x + 2\) представляет собой линейную функцию с положительным коэффициентом перед \(x\). Это означает, что функция будет увеличиваться с ростом значения \(x\).
Таким образом, ответ на вопрос а) - функция увеличивается на множестве \(\mathbb{R}\).

2. Перестроим график функции \(y = (x - 1)^2 - 14\), найдем интервалы возрастания и убывания функции, а также определим значения \(x\), при которых функция достигает максимального и минимального значения.

Снова составим таблицу значений функции:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -11 \\
-1 & -14 \\
0 & -15 \\
1 & -14 \\
2 & -11 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим график и отметим полученные точки:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-20, ymax=5,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={-15,-14,-11},
scaled ticks=false,
]
\addplot [domain=-2:3, color=blue] {(x - 1)^2 - 14};
\addplot[only marks, mark=*] table {
-2 -11
-1 -14
0 -15
1 -14
2 -11
};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Интервалы увеличения и убывания функции определяются по значению \(y\). В нашем случае функция увеличивается на интервалах \([-2, -1]\) и \([1, 2]\), а убывает на интервале \([-1, 1]\).

Для нахождения максимального и минимального значения функции нужно найти точки экстремума. В данном случае функция \(y = (x - 1)^2 - 14\) представляет параболу с вершиной в точке \((1, -14)\). Таким образом, функция достигает своего минимального значения при \(x = 1\) и это значение равно -14.

3. Найдем значения \(k\) и \(l\) в уравнении функции, проходящей через точки \(A(0; 5)\) и \(B(2; 1)\).

Используем общий вид уравнения прямой \(y = kx + l\) и подставим значения точек:

1) Для точки \(A(0; 5)\):
\[5 = 0 \cdot k + l\]
l = 5

2) Для точки \(B(2; 1)\):
\[1 = 2 \cdot k + l\]
2k + l = 1

Подставляем значение l из первого уравнения во второе уравнение:
\[2k + 5 = 1\]
2k = -4
k = -2

Таким образом, \(k = -2\) и \(l = 5\).

4. Перестроим график функции \(y = 4x^3\) и определим, на каком числовом интервале функция принимает положительные значения.

Составим таблицу значений функции:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
-2 & -32 \\
-1 & -4 \\
0 & 0 \\
1 & 4 \\
2 & 32 \\
\hline
\end{array}
\]

Построим график и отметим полученные точки:

\[
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
axis lines = middle,
xlabel = \(x\),
ylabel = \(y\),
xmin=-3, xmax=3,
ymin=-40, ymax=40,
xtick={-2,-1,0,1,2},
ytick={-32,-4,4,32},
scaled ticks=false,
]
\addplot [domain=-2:2, color=blue] {4*x^3};
\addplot[only marks, mark=*] table {
-2 -32
-1 -4
0 0
1 4
2 32
};

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\]

Из графика видно, что функция принимает положительные значения на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, + \infty)\). То есть, функция положительна при значениях \(x < -1\) и \(x > 1\).

5*. По условию задачи, поезд задержался на станции на 12 минут.