Создайте диаграмму для функции f(x) =x^2+4x-5 и на основе этой диаграммы определите: 1) диапазон значений функции

Хорошо, давайте начнем с создания диаграммы для функции \(f(x) = x^2 + 4x - 5\). Для этого нам нужно нарисовать график функции на координатной плоскости.

Первым шагом будем исследовать, где функция пересекает ось ординат (ось Y). Для этого решим уравнение \(f(x) = 0\):

\[x^2 + 4x - 5 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты в уравнении.

В нашем случае, коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\).

Теперь вычислим дискриминант:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\]

Так как \(D > 0\), получаем два корня уравнения.

Решим уравнение при помощи формулы квадратного корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = 1\]
\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = -5\]

Таким образом, функция \(f(x)\) пересекает ось ординат в точках (1, 0) и (-5, 0).

Теперь продолжим строить график функции, зная эти точки и другие свойства функции.

Посмотрим на коэффициент при \(x^2\), который равен 1. Положительное значение этого коэффициента говорит нам, что парабола имеет форму "U" и открывается вверх.

Теперь рассмотрим коэффициент при \(x\), который равен 4. Это говорит нам о том, что парабола смещается влево на 4 единицы.

Также, отрицательное число -5 в конце функции \(f(x)\) указывает нам на смещение параболы вниз на 5 единиц.

Теперь, используя эту информацию, нарисуем график функции:

\[graph\]

Теперь, когда у нас есть график, давайте ответим на заданные вопросы:

1) Диапазон значений функции: Для "U"-образной параболы, открывающейся вверх, диапазон значений будет от минимального значения, которое достигается в вершине, и будет равно или больше этого значения. В нашем случае, минимальное значение функции составляет -5, поскольку парабола смещена вниз на 5 единиц. Следовательно, диапазон значений функции \(f(x)\) будет \([-5, +\infty)\).

2) Интервалы возрастания и убывания: Мы можем определить интервалы возрастания и убывания функции, анализируя знак производной функции. Для этого возьмем первую производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = 2x + 4\]

Поскольку у нас есть линейная функция вида \(y = mx + c\), где \(m\) представляет собой коэффициент перед \(x\), мы знаем, что функция \(f"(x)\) строго возрастает.

То есть, \(f"(x) > 0\) для всех значений \(x\).

Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на всей области определения, которой мы рассмотрим в следующем пункте.

3) Область определения функции: Область определения функции \(f(x)\) - это множество всех допустимых значений для переменной \(x\). Поскольку у нас нет никаких ограничений на переменную \(x\), функция \(f(x)\) определена для всех действительных чисел.

Таким образом, область определения функции \(f(x)\) - это \(\mathbb{R}\), множество всех действительных чисел.

Надеюсь, этот подробный ответ помог вам понять задачу. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.