Сколько различных комбинаций первой группы учеников могут вызывать к доске из класса из 11 человек, учитывая

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать сочетания (или комбинации) — одну из важных алгебраических операций, позволяющую определить количество способов выбрать подмножество элементов из данного множества без учета порядка. В ситуации, когда комбинаторные объекты выбираются из некоторого большого множества, такая операция является наиболее эффективным способом решения данного задания.

Для расчета количества комбинаций первой группы учеников, которые могут вызывать к доске, мы будем использовать сочетания. Формула сочетаний записывается следующим образом:

\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

где \(n\) - количество элементов в множестве, \(k\) - требуемое количество элементов в подмножестве, а символ "!" означает факториал (произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа).

В данной задаче у нас 11 человек в классе, из которых только 5 могут поместиться возле доски. Следовательно, нам нужно вычислить значение \(C_{11}^5\). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

\[C_{11}^5 = \frac{{11!}}{{5!(11-5)!}}\]

Вычислим значения факториалов:

\[C_{11}^5 = \frac{{11!}}{{5!6!}}\]

\[C_{11}^5 = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{5!6!}}\]

Здесь факториалы \(6!\) в числителе и знаменателе сокращаются:

\[C_{11}^5 = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Выполняем вычисления:

\[C_{11}^5 = \frac{{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 462\]

Таким образом, количество различных комбинаций первой группы учеников, которые могут вызывать к доске из класса из 11 человек с учетом того, что только 5 человек могут поместиться возле доски, равно 462.