1. Напишите первые пять элементов последовательности, где каждый элемент является натуральным числом, кратным

Хорошо, давайте начнем с каждой задачи по очереди:

1. Чтобы найти первые пять элементов последовательности, где каждый элемент является натуральным числом, кратным 15, нужно просто умножать числа на 15. Вот первые пять элементов: 15, 30, 45, 60, 75.

2. Для заданной последовательности с формулой \(x_p = 3p^2 + 1\):

а) Чтобы найти значение \(x_1\), нужно подставить \(p = 1\) в формулу:
\(x_1 = 3 \cdot 1^2 + 1 = 3 \cdot 1 + 1 = 3 + 1 = 4\).

б) Чтобы найти значение \(x_5\), нужно подставить \(p = 5\) в формулу:
\(x_5 = 3 \cdot 5^2 + 1 = 3 \cdot 25 + 1 = 75 + 1 = 76\).

в) Чтобы найти \(x_t\), необходимо знать значение \(t\) — это номер элемента в последовательности. Поскольку в задаче не указано значение \(t\), невозможно точно ответить.

г) Чтобы найти значение \(x_{3t}\), нужно подставить \(p = 3t\) в формулу:
\(x_{3t} = 3(3t)^2 + 1 = 3 \cdot 9t^2 + 1 = 27t^2 + 1\).
В этом случае также требуется знать конкретное значение \(t\), чтобы определить точное значение \(x_{3t}\).

3. Чтобы найти номер элемента в последовательности, заданной формулой \(a_p = 4 - 2p\), равный 19, нужно решить уравнение \(4 - 2p = 19\):

\(4 - 2p = 19\)
\(-2p = 19 - 4\)
\(-2p = 15\)
\(p = \frac{15}{-2}\)
\(p = -7.5\).

Однако, поскольку номер элемента должен быть положительным целым числом, мы не можем использовать отрицательное или десятичное значение. Значит, в данной последовательности нет элемента с номером 19.

4. Для рекуррентной последовательности, где \(u_1 = -3\) и \(u_{p+1} = 2u_p + 5\), чтобы найти первые три элемента, нам нужно последовательно подставить значения, используя рекуррентную формулу:

\(u_1 = -3\) (дано)
\(u_2 = 2u_1 + 5 = 2 \cdot (-3) + 5 = -6 +5 = -1\) (подставляем \(u_1\))
\(u_3 = 2u_2 + 5 = 2 \cdot (-1) + 5 = -2 + 5 = 3\) (подставляем \(u_2\))

Таким образом, первые три элемента последовательности равны -3, -1 и 3.

5. Чтобы написать формулу общего члена последовательности, где каждый элемент является натуральным числом, делящимся на 7 с остатком, мы можем использовать операцию получения остатка от деления (mod):

Обозначим общий член последовательности как \(y_p\).
Формула будет выглядеть следующим образом: \(y_p = 7p + r\),
где \(r\) является остатком от деления на 7.

Например, для \(p = 1\), \(y_1 = 7 \cdot 1 + 1 = 8\).
Для \(p = 2\), \(y_2 = 7 \cdot 2 + 2 = 16\).
И так далее.

Таким образом, общая формула для этой последовательности будет \(y_p = 7p + r\), где \(r\) является остатком от деления \(p\) на 7.