1. Напишите первые пять элементов последовательности, где каждый элемент является натуральным числом, кратным

Хорошо, давайте начнем с каждой задачи по очереди:

1. Чтобы найти первые пять элементов последовательности, где каждый элемент является натуральным числом, кратным 15, нужно просто умножать числа на 15. Вот первые пять элементов: 15, 30, 45, 60, 75.

2. Для заданной последовательности с формулой $x_p=3p^2+1$:

а) Чтобы найти значение $x_1$, нужно подставить $p=1$ в формулу:
$x_1=3\cdot 1^2+1=3\cdot 1+1=3+1=4$.

б) Чтобы найти значение $x_5$, нужно подставить $p=5$ в формулу:
$x_5=3\cdot 5^2+1=3\cdot 25+1=75+1=76$.

в) Чтобы найти $x_t$, необходимо знать значение $t$ — это номер элемента в последовательности. Поскольку в задаче не указано значение $t$, невозможно точно ответить.

г) Чтобы найти значение $x_{3t}$, нужно подставить $p=3t$ в формулу:
$x_{3t}=3(3t{)}^2+1=3\cdot 9t^2+1=27t^2+1$.
В этом случае также требуется знать конкретное значение $t$, чтобы определить точное значение $x_{3t}$.

3. Чтобы найти номер элемента в последовательности, заданной формулой $a_p=4-2p$, равный 19, нужно решить уравнение $4-2p=19$:

$4-2p=19$
$-2p=19-4$
$-2p=15$
$p=\frac{15}{-2}$
$p=-7.5$.

Однако, поскольку номер элемента должен быть положительным целым числом, мы не можем использовать отрицательное или десятичное значение. Значит, в данной последовательности нет элемента с номером 19.

4. Для рекуррентной последовательности, где $u_1=-3$ и $u_{p+1}=2u_p+5$, чтобы найти первые три элемента, нам нужно последовательно подставить значения, используя рекуррентную формулу:

$u_1=-3$ (дано)
$u_2=2u_1+5=2\cdot (-3)+5=-6+5=-1$ (подставляем $u_1$)
$u_3=2u_2+5=2\cdot (-1)+5=-2+5=3$ (подставляем $u_2$)

Таким образом, первые три элемента последовательности равны -3, -1 и 3.

5. Чтобы написать формулу общего члена последовательности, где каждый элемент является натуральным числом, делящимся на 7 с остатком, мы можем использовать операцию получения остатка от деления (mod):

Обозначим общий член последовательности как $y_p$.
Формула будет выглядеть следующим образом: $y_p=7p+r$,
где $r$ является остатком от деления на 7.

Например, для $p=1$, $y_1=7\cdot 1+1=8$.
Для $p=2$, $y_2=7\cdot 2+2=16$.
И так далее.

Таким образом, общая формула для этой последовательности будет $y_p=7p+r$, где $r$ является остатком от деления $p$ на 7.