Сколько путей необходимо проложить для соединения всех 100 городов в этой стране?

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать комбинаторику и теорию графов. В данном случае, у нас есть 100 городов, и нам нужно посчитать количество возможных путей для соединения всех этих городов.

Для начала, рассмотрим один конкретный город - допустим, это город А. От города А можно достичь любого другого города. Для этого нам нужно проложить путь между А и каждым из оставшихся 99 городов. То есть, у нас есть 99 возможных путей для достижения любого другого города из А.

Теперь рассмотрим другой город, допустим, город Б. От города Б мы также можем достичь каждого из оставшихся 98 городов. То есть, у нас есть 98 возможных путей для достижения любого другого города из Б.

Продолжая таким образом, мы видим, что для каждого города у нас будет на один путь меньше, чем городов, которые осталось соединить.

Таким образом, для первого города у нас будет 99 путей (поскольку мы должны соединить оставшиеся 99 городов), для второго города - 98 путей (поскольку осталось соединиться с 98 городами), для третьего города - 97 путей, и так далее.

Суммируя все эти пути, мы получим общее количество путей для соединения всех 100 городов. Здесь мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) натуральных чисел, которая записывается как:

\[\text{Сумма} = \frac{{n \times (n + 1)}}{2}\]

Применяя эту формулу, мы можем рассчитать общее количество путей для нашей задачи:

\[\text{Сумма} = \frac{{99 \times 100}}{2} = 4950\]

Таким образом, необходимо проложить 4950 путей для соединения всех 100 городов в этой стране.