Сколько корней есть у уравнения [tex] {x}^{n} = 2500[/tex] при четном значении n и при нечетном значении

Давайте решим эту задачу поэтапно для обоих случаев - когда значение n четное и когда оно нечетное.

1. Когда значение n четное:
Дано уравнение: \(x^n = 2500\), где n - четное число.

Первым шагом, возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от степени:
\((x^n)^2 = (2500)^2\)

Теперь мы можем упростить это уравнение:
\(x^{2n} = 6250000\)

Поскольку \(x^{2n}\) представляет собой полный квадрат, мы можем извлечь корень из обеих сторон уравнения:
\(\sqrt{x^{2n}} = \sqrt{6250000}\)

Получаем:
\(x^n = 2500\)

Таким образом, когда значение n четное, уравнение имеет один корень, который равен 2500.

2. Когда значение n нечетное:
Дано уравнение: \(x^n = 2500\), где n - нечетное число.

Нам необходимо найти количество корней данного уравнения.

Поскольку n нечетное, мы знаем, что уравнение будет иметь хотя бы один корень.

Однако, для нахождения остальных корней, нам нужно провести дополнительные вычисления.

Если n равно 1, то уравнение превращается в \(x = 2500\), что означает, что есть только один корень.

Если n равно 3, то уравнение превращается в \(x^3 = 2500\).

Следовательно, нам нужно найти кубический корень из 2500, чтобы найти значение x.

Вычисляя кубический корень из 2500, мы получаем, что x равен приблизительно 12.59.

Таким образом, когда значение n нечетное, уравнение имеет один корень.

В итоге, для уравнения \(x^n = 2500\), количество корней будет зависеть от значения n. Если n четное, то уравнение имеет один корень, а если n нечетное, то также имеет один корень.