Сколько книг могут поменять между собой Катя и Коля, если у Кати есть 10 книг по математике и у Коли - 7 книг

Для решения этой задачи посмотрим, сколько книг может предложить каждый из детей для обмена.

У Кати есть 10 книг по математике. Она может предложить любую комбинацию из этих 10 книг.

У Коли есть 7 книг по физике. Он может предложить любую комбинацию из этих 7 книг.

Обменяться им нужно пятью книгами.

Таким образом, для решения задачи нам нужно выяснить, сколько комбинаций из 5 книг можно составить, если у каждого из детей есть свои книги.

Для этого воспользуемся комбинаторикой. Формула для подсчета числа комбинаций из n элементов по k элементов выглядит следующим образом:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]

Где n! (n факториал) обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n.

В нашем случае n равно 10 (количество книг у Кати) и k равно 5 (количество книг, которыми нужно обменяться).

Подставим значения в формулу:

\[C(10, 5) = \frac{{10!}}{{5!(10-5)!}}\]

Раскроем факториалы:

\[C(10, 5) = \frac{{10!}}{{5! \cdot 5!}}\]

\[C(10, 5) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}}{{5! \cdot 5!}}\]

Заметим, что \(5!\) сокращается:

\[C(10, 5) = \frac{{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}}{{5!}}\]

Рассчитаем:

\[C(10, 5) = \frac{{30240}}{{120}} = 252\]

Таким образом, между Катей и Колей может быть 252 комбинации обмена пятью книгами.

Однако, стоит отметить, возможны различные комбинации обмена. Вычисленное число представляет только количество комбинаций, которые могут существовать при указанных условиях. Дети могут выбирать, что обменивать среди своих книг.