Какие уравнения касательных можно составить к эллипсу x2/10 + 2y2/5 = 1, которые будут параллельны прямой 3x + 2y

Чтобы составить уравнение касательной к эллипсу, параллельной заданной прямой, нам понадобится информация о точке касания. Для этого нам необходимо найти общее решение системы уравнений эллипса и прямой.

Начнем с общего уравнения прямой:
\[3x + 2y = c \quad (1)\]
где \(c\) - произвольная константа.

Теперь, подставим уравнение эллипса в уравнение прямой:
\[\frac{{x^2}}{{10}} + \frac{{2y^2}}{{5}} = 1 \quad (2)\]

Для удобства, избавимся от дробей, умножив оба уравнения на 10:
\[x^2 + 4y^2 = 10 \quad (3)\]
\[30x + 20y = 10c \quad (4)\]

Теперь нам необходимо решить систему уравнений (3) и (4) для нахождения точек касания.

Для этого умножим уравнение (3) на 3:
\[3x^2 + 12y^2 = 30 \quad (5)\]

Вычтем уравнение (5) из уравнения (4):
\[30x + 20y - (3x^2 + 12y^2) = 10c - 30 \quad (6)\]

Распишем это уравнение:
\[10(3x + 2y) - (3x^2 + 12y^2) = 10c - 30\]

Упростим его:
\[-3x^2 + 6xy - 12y^2 = 10c - 30 \quad (7)\]

Теперь давайте решим уравнение (7) относительно \(x\). Будем считать, что \(y\) - это переменная, а \(c\) - константа.
\[x = \frac{{2y \pm \sqrt{{4y^2 - 4(-3)(-12y^2 - (10c - 30))}}}}{{-6}}\]

Упростим эту формулу:
\[x = \frac{{2y \pm \sqrt{{-48y^2 + 12(36y^2 + 30 - 10c)}}}}{{-6}}\]

Находим значения \(x\) и \(y\), подставив исходное уравнение (1):
\[3(\frac{{2y \pm \sqrt{{-48y^2 + 12(36y^2 + 30 - 10c)}}}}{{-6}}) + 2y = c\]

Упростим ее:
\[\frac{{-9y \pm 2\sqrt{{-48y^2 + 12(36y^2 + 30 - 10c)}}}}{{-2}} + 2y = c\]

Распишем уравнение для каждого решения отдельно:
\[-9y \pm 2\sqrt{{-48y^2 + 12(36y^2 + 30 - 10c)}} + 4y = -2c \quad \text{(8)}\]
\[-9y \mp 2\sqrt{{-48y^2 + 12(36y^2 + 30 - 10c)}} + 4y = -2c \quad \text{(9)}\]

Таким образом, уравнения (8) и (9) являются уравнениями касательных, которые параллельны заданной прямой \(3x + 2y = c\).