Складіть квадратне рівняння, у якого сума коренів є 6, а добуток коренів дорівнює 4, застосовуючи теорему Вієта

Для решения данной задачи мы будем использовать теорему Виета о корнях квадратного уравнения.

Согласно теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения вида \(ax^2 + bx + c = 0\) равна \(-\frac{b}{a}\), а их произведение равно \(\frac{c}{a}\).

Исходя из этого, нам нужно составить уравнение, корни которого имеют заданные свойства: сумма корней равна 6, а произведение корней равно 4.

Пусть корни нашего уравнения будут \(x_1\) и \(x_2\). Тогда мы можем записать следующие уравнения на основе теоремы Виета:

\[
\begin{align*}
x_1 + x_2 &= 6 \quad \text{(1)} \\
x_1 \cdot x_2 &= 4 \quad \text{(2)}
\end{align*}
\]

Наша задача - составить квадратное уравнение, корни которого будут удовлетворять этим условиям.

Для этого мы можем использовать два подхода.

1. Метод подстановки. Пусть один из корней равен \(x_1 = 2\). Тогда, используя уравнение (1), найдем второй корень:

\[
2 + x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 6 - 2 = 4
\]

Теперь, используя уравнение (2), мы можем записать квадратное уравнение:

\[
(x - 2)(x - 4) = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 - 6x + 8 = 0
\]

Таким образом, квадратное уравнение, которое мы составили, это \(x^2 - 6x + 8 = 0\).

2. Метод подстановки. Пусть один из корней равен \(x_1 = 4\). Тогда, используя уравнение (1), найдем второй корень:

\[
4 + x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = 6 - 4 = 2
\]

Теперь, используя уравнение (2), мы можем записать квадратное уравнение:

\[
(x - 4)(x - 2) = 0
\]

Раскроем скобки:

\[
x^2 - 6x + 8 = 0
\]

Таким образом, квадратное уравнение, которое мы составили, это \(x^2 - 6x + 8 = 0\).

Оба этих подхода дают нам одно и то же квадратное уравнение \(x^2 - 6x + 8 = 0\), которое удовлетворяет условиям задачи.