1.Применив метод Горнера, определите результат и остаток от деления многочлена P(x) на двучлен Q(x), если

Добро пожаловать! Давайте решим эти две задачи по очереди.

1. Чтобы применить метод Горнера, мы начинаем с последнего члена многочлена P(x). В данном случае это -13. Затем умножаем этот результат на делитель Q(x), что даст нам новое значение. Для начала нужно умножить -13 на x, что дает -13x. Затем сложите -13x с коэффициентом при x в P(x), который равен 2, и получите -13x + 2. Повторядйте этот процесс для каждого члена многочлена P(x).

\[
\begin{align*}
-13 &\quad \text{(начальное значение)} \\
-13x + 2 &\quad \text{(первый шаг)} \\
-13x^2 + 2x - 45 &\quad \text{(второй шаг)} \\
-13x^3 + 2x^2 - 45x - 238 &\quad \text{(третий шаг)} \\
-13x^4 + 2x^3 - 45x^2 - 238x - 1221 &\quad \text{(четвертый шаг)} \\
\end{align*}
\]

Таким образом, результатом деления многочлена P(x) на Q(x) будет -13x^4 + 2x^3 - 45x^2 - 238x - 1221, а остатком будет 0.

2. Для определения определенного члена разложения выражения (\(\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^{10}\), содержащего \(\frac{1}{x^3}\), мы можем использовать формулу Бинома Ньютона.

В общем виде, формула Бинома Ньютона выглядит так:

\[
(a + b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1} b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2} b^2 + \ldots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n-1} + \binom{n}{n}a^0 b^n
\]

В нашем случае \(a = \sqrt{x}\), \(b = -\frac{5}{\sqrt{x}}\) и \(n = 10\).

\[
(\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^{10} = \binom{10}{0}(\sqrt{x})^{10} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^0 + \binom{10}{1}(\sqrt{x})^{9} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^1 + \binom{10}{2}(\sqrt{x})^{8} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^2 + \ldots + \binom{10}{7}(\sqrt{x})^{3} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^7 + \binom{10}{8}(\sqrt{x})^{2} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^8 + \binom{10}{9}(\sqrt{x})^{1} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^9 + \binom{10}{10}(\sqrt{x})^{0} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^{10}
\]

Раскрывая каждое слагаемое, получим:

\[
\binom{10}{0}(\sqrt{x})^{10} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^0 = x^5
\]

\[
\binom{10}{1}(\sqrt{x})^{9} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^1 = -50x^{11/2}
\]

\[
\binom{10}{2}(\sqrt{x})^{8} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^2 = 400x^4
\]

\[
\binom{10}{3}(\sqrt{x})^{7} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^3 = -2000x^{13/2}
\]

\[
\binom{10}{4}(\sqrt{x})^{6} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^4 = 5000x^3
\]

\[
\binom{10}{5}(\sqrt{x})^{5} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^5 = -6250x^{15/2}
\]

\[
\binom{10}{6}(\sqrt{x})^{4} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^6 = 3750x^2
\]

\[
\binom{10}{7}(\sqrt{x})^{3} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^7 = -1000\sqrt{x}
\]

\[
\binom{10}{8}(\sqrt{x})^{2} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^8 = 125\sqrt{x}^5
\]

\[
\binom{10}{9}(\sqrt{x})^{1} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^9 = -10\sqrt{x}^7
\]

\[
\binom{10}{10}(\sqrt{x})^{0} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^{10} = \frac{5^{10}}{x^5}
\]

По задаче требуется найти определенный член, содержащий \(\frac{1}{x^3}\). Такой член будет только в слагаемом \(\binom{10}{8}(\sqrt{x})^{2} \left(-\frac{5}{\sqrt{x}}\right)^8\). Обратите внимание, что после раскрытия этого слагаемого, останутся только степени вида \(\sqrt{x}\).

Таким образом, определенный член разложения выражения (\(\sqrt{x} - \frac{5}{\sqrt{x}})^{10}\), содержащий \(\frac{1}{x^3}\), будет равен \(125\sqrt{x}^5\).

Надеюсь, эти развернутые и пошаговые решения помогут вам понять решение задач. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать. Я всегда здесь, чтобы помочь вам!