1) Какая сумма координат центра эллипса, заданного уравнением 25x^2+4y^2+50x-24y-39=0? 2) Какой квадрат эксцентриситета

Конечно, я помогу вам с решением задачи!

1) Чтобы найти координаты центра эллипса, заданного уравнением \(25x^2+4y^2+50x-24y-39=0\), нам нужно привести уравнение к каноническому виду эллипса. Канонический вид имеет следующий вид: \(\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\), где \((h, k)\) - координаты центра эллипса, \(a\) и \(b\) - полуоси.

Для начала, выполним необходимые алгебраические преобразования. Начнем с группировки переменных:

\((25x^2 + 50x) + (4y^2 - 24y) = 39\)

Затем, завершим квадраты, добавляя и вычитая половину квадратов коэффициентов перед \(x\) и \(y\):

\((25x^2 + 50x + 25) + (4y^2 - 24y + 36) = 39 + 25 + 36\)

Приведем выражение внутри скобок к квадратичному трехчлену:

\((5x + 5)^2 + (2y - 6)^2 = 100\)

Теперь, поделив обе части уравнения на \(100\), получим канонический вид:

\(\frac{{(x + 1)^2}}{{2^2}} + \frac{{(y - 3)^2}}{{5^2}} = 1\)

Таким образом, мы получили каноническое уравнение эллипса с центром в точке \((-1, 3)\) и полуосями \(a = 2\) и \(b = 5\).

Итак, сумма координат центра эллипса будет равна \((-1) + 3 = 2\).

2) Для нахождения квадрата эксцентриситета кривой, заданной уравнением \(16x^2-y^2-64x-6y+39=0\), мы должны сначала определить тип кривой. Это может быть эллипс или гипербола.

Для определения типа кривой, посмотрим на знаки перед \(x^2\) и \(y^2\). В данном уравнении перед \(x^2\) у нас положительный коэффициент, а перед \(y^2\) - отрицательный коэффициент. Это означает, что кривая является гиперболой.

Известно, что эксцентриситет гиперболы можно найти по формуле \(e = \sqrt{a^2 + b^2 + 1}\), где \(a\) и \(b\) - полуоси.

Для начала, приведем уравнение гиперболы к каноническому виду, как \(\frac{{(x-h)^2}}{{a^2}} - \frac{{(y-k)^2}}{{b^2}} = 1\).

Выполняя алгебраические преобразования, получим:

\((16x^2 - 64x) - (y^2 + 6y) = -39\)

\((16x^2 - 64x) + (-1)(y^2 + 6y) = -39\)

Теперь завершим квадраты:

\((16x^2 - 64x + 256) - (y^2 + 6y + 9) = -39 + 256 - 9\)

Приведем выражение внутри скобок к квадратичному трехчлену и сделаем замену на обратные знаки:

\((4x - 8)^2 - (y + 3)^2 = 208\)

\(\frac{{(y + 3)^2}}{{208}} - \frac{{(4x - 8)^2}}{{208}} = 1\)

Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы с центром в точке \((8, -3)\) и полуосями \(a = \sqrt{208}\) и \(b = \sqrt{208}\).

Теперь, подставим значения полуосей в формулу для эксцентриситета гиперболы:

\[e = \sqrt{(\sqrt{208})^2 + (\sqrt{208})^2 + 1}\]
\[e = \sqrt{208 + 208 + 1}\]
\[e = \sqrt{417}\]

Итак, квадрат эксцентриситета гиперболы будет равен \(417\).