Решите неравенство и выразите ответ в виде интервала. (x+2)^2 - x^2 < 1/(x+13). x принадлежит к ; . (вводите скобки

Давайте решим данную неравенство по шагам.

1. Начнем с того, что раскроем квадрат в левой части неравенства:
\((x+2)^2 - x^2 < \frac{1}{x+13}\).

Раскроем скобки:
\(x^2 + 4x + 4 - x^2 < \frac{1}{x + 13}\).

2. Упростим полученное выражение:
\(4x + 4 < \frac{1}{x + 13}\).

3. Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части неравенства на \(x + 13\):
\(4x(x + 13) + 4(x + 13) < 1\).

Раскроем скобки:
\(4x^2 + 52x + 4x + 52 < 1\).

4. Упростим выражение:
\(4x^2 + 56x + 52 < 1\).

Перенесем все в левую часть, чтобы у нас было неравенство равное нулю:
\(4x^2 + 56x + 52 - 1 < 0\).

Упростим:
\(4x^2 + 56x + 51 < 0\).

5. Теперь найдем корни квадратного уравнения \(4x^2 + 56x + 51 = 0\).

Выделим общий множитель:
\(4(x^2 + 14x + 12.75) = 0\).

Решим квадратное уравнение \(x^2 + 14x + 12.75 = 0\) с помощью дискриминанта:
\(\Delta = b^2 - 4ac\),
\(\Delta = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12.75 = 196 - 51 = 145\).

Так как дискриминант положителен, у нас два вещественных корня:
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{145}}{2 \cdot 1}\),
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{145}}{2 \cdot 1}\).

Вычислим значения корней:
\(x_1 \approx -1.924\) и \(x_2 \approx -12.076\).

6. Делаем знаковую таблицу:

\[
\begin{align*}
&x& &4x^2 + 56x + 51& \\
&-+\nearrow &-\nearrow -+\searrow -+\searrow &-\searrow \\
\end{align*}
\]

Отметим значения корней на числовой прямой:

\(-\infty\)\(x_2\)\(x_1\)\(+\infty\)

Теперь проверим значения между корнями:

Подставим, например, \(x = -5\):
Если \(x = -5\), то \(4x^2 + 56x + 51 > 0\), проверка не прошла.

Возьмем другое значение, например, \(x = -15\):
Если \(x = -15\), то \(4x^2 + 56x + 51 < 0\), проверка прошла.

Итак, мы видим, что между корнями неравенство \((4x^2 + 56x + 51) < 0\) выполняется.

7. Теперь найдем интервал, в котором выполняется это неравенство.

Интервал, в котором выполняется неравенство \((4x^2 + 56x + 51) < 0\) --- это от \(-12.076\) до \(-1.924\), исключая сами эти два значения.

Выражая ответ в виде интервала: \(x \in (-\infty, -12.076) \cup (-12.076, -1.924) \cup (-1.924, +\infty)\).

Готово! Ответом является интервал \(x \in (-\infty, -12.076) \cup (-12.076, -1.924) \cup (-1.924, +\infty)\).