Найдите корни уравнения 32+2cos4x=31 на интервале от -11п/12

Хорошо, давайте решим вашу задачу.

У вас дано уравнение \(32+2\cos(4x)=31\) и требуется найти корни на интервале от \(-\frac{11\pi}{12}\).

Для начала, вычтем 32 из обеих частей уравнения, чтобы получить:

\[2\cos(4x) = -1\]

Затем разделим обе части на 2:

\[\cos(4x) = -\frac{1}{2}\]

Мы знаем, что значение косинуса равно \(-\frac{1}{2}\) для определенных углов. Один из таких углов это \(+\frac{2\pi}{3}\), а другой \(-\frac{2\pi}{3}\). Однако, мы должны рассмотреть значение углов на интервале от \(-\frac{11\pi}{12}\).

Используя периодичность функции косинуса, мы можем добавить целое число периодов (в данном случае 4) к нашим ответам:

\[4x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n\]
и
\[4x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi n\]

где \(n\) - целое число.

Теперь мы можем решить каждое из уравнений.

1) Для первого уравнения мы получим:

\[x = \frac{\frac{2\pi}{3} + 4\pi n}{4}\]

2) Для второго уравнения мы получим:

\[x = \frac{-\frac{2\pi}{3} + 4\pi n}{4}\]

Перейдем к заданному интервалу. Для этого нам нужно найти значения \(n\), которые удовлетворяют условию \(-\frac{11\pi}{12} \leq x \leq \frac{\pi}{12}\).

Для первого уравнения:
\[-\frac{11\pi}{12} \leq \frac{\frac{2\pi}{3} + 4\pi n}{4} \leq \frac{\pi}{12}\]

Решим это неравенство:

\[-11\pi \leq 2\pi + 16\pi n \leq \pi\]

\[10\pi \leq 16\pi n \leq 12\pi\]

\[\frac{5}{8} \leq n \leq \frac{3}{4}\]

Таким образом, значение \(n\) находится в интервале \(\left[\frac{5}{8}, \frac{3}{4}\right]\). Подставим каждое значение \(n\) в уравнение и найдем соответствующие значения \(x\) в данном интервале.

Для второго уравнения аналогично получаем, что \(n\) принадлежит интервалу \(\left[-\frac{3}{4}, -\frac{5}{8}\right]\).

Таким образом, корни уравнения \(32 + 2\cos(4x) = 31\) на интервале \(-\frac{11\pi}{12}\) будут соответствовать значениям \(x\), где \(n\) принадлежит интервалу \(\left[-\frac{3}{4}, -\frac{5}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, \frac{3}{4}\right]\).