Применився : Докажите, что прямая АВ ортогональна плоскости

Чтобы доказать, что прямая AB ортогональна плоскости, мы должны обратиться к определению ортогональности. В данном случае, прямая AB ортогональна плоскости, если все векторы прямой AB ортогональны всем векторам, лежащим в данной плоскости.

Предположим, что точка A(x₁, y₁, z₁) и точка B(x₂, y₂, z₂) определяют направляющие векторы прямой AB. Обозначим вектор прямой AB как \(\overrightarrow{AB}\).

Точка M(x, y, z) лежит на плоскости. Вектор \(\overrightarrow{AM}\) из начала координат (0, 0, 0) к точке M можно записать как \(\overrightarrow{AM} = (x, y, z)\).

Теперь нам нужно убедиться, что вектор \(\overrightarrow{AB}\) ортогонален вектору \(\overrightarrow{AM}\). Это можно сделать, вычислив скалярное произведение этих двух векторов и убедившись, что оно равно нулю.

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AM}\) можно выразить следующим образом:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AM} = (x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁) \cdot (x, y, z)\)

Раскрыв эту формулу скалярного произведения, получим:

\((x₂ - x₁) \cdot x + (y₂ - y₁) \cdot y + (z₂ - z₁) \cdot z = 0\)

Если такое равенство выполняется для любых значений x, y и z, то прямая AB ортогональна плоскости.

Таким образом, используя данное уравнение, можно доказать ортогональность прямой AB к плоскости.