При каких значениях переменной x функции y=x^2 и y=√x становятся взаимно

Question

Алгебра: При каких значениях переменной x функции y=x^2 и y=√x становятся взаимно обратными?

Kosmos_6283 · Accepted Answer

Для того чтобы определить при каких значениях переменной

x

функции

y = x^{2}

и

y = \sqrt{x}

становятся взаимно обратными, нужно найти такие значения

x

, при которых выполнено равенство

y = x^{2}

и

y = \sqrt{x}

.

Для начала, заметим, что функция

y = \sqrt{x}

является обратной функцией функции

y = x^{2}

только в тех случаях, когда примененная к

x^{2}

функция

\sqrt{}

уничтожает возведение в квадрат.

Теперь, чтобы решить задачу, приравняем два уравнения:

x^{2} = \sqrt{x}

Для удобства решения, перепишем уравнение в виде:

x^{2} - \sqrt{x} = 0

Теперь посмотрим, как решить это уравнение. Заметим, что мы можем заменить корень

\sqrt{x}

на

x^{\frac{1}{2}}

:

x^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 0

Теперь, используя свойства степеней, мы можем привести уравнение к одному основанию:

x^{2} - x^{\frac{1}{2}} = 0

x^{\frac{2}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = 0

x^{\frac{2}{2}} - x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0

x^{\frac{2}{2}} - x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 0

x^{\frac{2}{2}} - x^{\frac{2}{2}} = 0

0 = 0

Как видите, у нас получилась тождественная верность

0 = 0

. Это означает, что любое значение

x

является решением уравнения

x^{2} - \sqrt{x} = 0

.

Таким образом, функции

y = x^{2}

и

y = \sqrt{x}

становятся взаимно обратными для любых значений переменной

x

.

При каких значениях переменной x функции y=x^2 и y=√x становятся взаимно обратными?