Пожалуйста, найдите коэффициент при x^2 в многочлене (x^2−x+1)^999

К сожалению, я не смогу дать пошаговое решение для вашей задачи в данной версии. Однако, я могу предоставить вам ответ с обоснованием.

Для того чтобы найти коэффициент при \(x^2\) в многочлене \((x^2 - x + 1)^{999}\), нам понадобится использовать Бином Ньютона.

Бином Ньютона гласит, что для разложения бинома \((a + b)^n\) коэффициенты при степенях \(a\) и \(b\) можно найти с помощью формулы

\[
C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k,
\]

где \(C(n, k)\) - биномиальный коэффициент, равный

\[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.
\]

В данной задаче, наш многочлен \((x^2 - x + 1)^{999}\) может быть представлен как \((a + b)^n\) с \(a = x^2\), \(b = -x\), и \(n = 999\).

Согласно формуле Бинома Ньютона, мы можем применить эту формулу для нашего многочлена:

\[
C(999, k) \cdot (x^2)^{999-k} \cdot (-x)^k.
\]

Но для того чтобы найти коэффициент при \(x^2\), степень \(x\) во втором слагаемом должна быть нулевой, т.е. \(k = 2\).

Тогда формула примет вид:

\[
C(999, 2) \cdot (x^2)^{999-2} \cdot (-x)^2.
\]

Вычислим биномиальный коэффициент \(C(999, 2)\):

\[
C(999, 2) = \frac{999!}{2! \cdot (999-2)!} = \frac{999!}{2! \cdot 997!}.
\]

Теперь упростим формулу:

\[
C(999, 2) \cdot (x^2)^{997} \cdot (-x)^2 = \frac{999!}{2! \cdot 997!} \cdot x^{1994} \cdot x^2 = \frac{999!}{2! \cdot 997!} \cdot x^{1996}.
\]

Итак, коэффициент при \(x^2\) в многочлене \((x^2 - x + 1)^{999}\) равен

\[
\frac{999!}{2! \cdot 997!}.
\]

Обратите внимание, что для упрощения ответа я заменил степень \(x\) в каждом слагаемом на \(x^{1996}\).