1) Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 1 2 3 4 5? 2) Сколько вариантов размещения существует

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди и предоставим подробное решение.

1) Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 1 2 3 4 5?

Для составления пятизначного числа с помощью данных цифр (1, 2, 3, 4, 5) мы можем использовать метод комбинаторики, а именно, применить правило умножения. Количество различных вариантов чисел можно вычислить, найдя количество возможностей выбора для каждой позиции числа и умножив их.

Поскольку нам нужно составить пятизначное число, у нас есть пять позиций:

- Первая позиция может быть заполнена любой из пяти цифр (1, 2, 3, 4, 5). У нас есть 5 возможностей выбора для первой цифры.
- Аналогично, для каждой из четырех оставшихся позиций, у нас также есть 5 возможностей выбора для каждой цифры.

Используя правило умножения, чтобы найти общее количество возможных пятизначных чисел, мы умножаем количество возможностей выбора для каждой позиции:

\[5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125\]

Таким образом, с использованием цифр 1, 2, 3, 4, 5 мы можем составить 3125 различных пятизначных чисел.

2) Сколько вариантов размещения существует для 7 грузовых машин, 8 легковых машин и 5 мотоциклов в ряд, при условии, что все грузовые машины должны стоять рядом, все легковые машины должны стоять рядом, и все мотоциклы должны стоять рядом?

В этой задаче нас интересует количество вариантов размещения грузовых машин, легковых машин и мотоциклов в ряд согласно условию.

У нас есть 7 грузовых машин, 8 легковых машин и 5 мотоциклов. При условии, что все грузовые, легковые машины и мотоциклы должны стоять рядом, мы можем рассматривать их как один объект каждого типа.

Тогда мы имеем 3 объекта: 1 группа из 7 грузовых машин, 1 группа из 8 легковых машин и 1 группа из 5 мотоциклов.

Согласно правилу сложения для комбинаторики, мы складываем количество вариантов каждой группы объектов, чтобы найти общее количество вариантов расположения:

\[7! \cdot 8! \cdot 5! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\]

Это значение можно рассчитать математически и получить конкретную цифру.

3) Сколько четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 1 2 3 4 5 6, так чтобы цифры не повторялись, и последние две цифры были нечетными?

Для решения этой задачи мы можем использовать простые правила комбинаторики. У нас есть 6 доступных цифр, и нам нужно составить четырехзначные числа, где последние две цифры должны быть нечетными.

1) Найдем количество возможных вариантов выбора нечетной последней цифры. У нас есть 3 нечетные цифры (1, 3, 5), поэтому у нас есть 3 возможности выбора для последней цифры.
2) После выбора последней цифры, у нас остается 5 цифр для выбора трех оставшихся позиций числа. Для первой позиции у нас есть 6 возможностей, для второй - 5 возможностей, и для третьей - 4 возможности.

Используя правило умножения, мы умножаем количество возможностей выбора для каждой позиции, чтобы получить общее количество различных четырехзначных чисел:

\[3 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 360\]

Таким образом, с использованием цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и требованием, что последние две цифры должны быть нечетными, мы можем записать 360 различных четырехзначных чисел.